高中数学苏教版选修4-2学业分层测评：2.2几种常见的平面变换4Word版含解析.docVIP

学业分层测评(四)学业达标] .求出△ABC在矩阵作用下得到的图形并画出示意图其中A(0)，B(1，)，C(0，2). 【解】　因为＝＝＝所以△ABC在矩阵作用下变换得到的图形为△A′B′C′其中A′(0)，B′(－1)，C′(－)，这是一个旋转变换示意图如图所示. 2.(1)直线x＋y＝3在矩阵作用下变成什么图形？(2)正方形ABCD在矩阵M＝作用下变成什么图形？这里A(－1－1)(1，－1)(1，1)，D(－1). 【解】　(1)直线x＋y＝3在矩阵作用下变成直线x＝3.(2)在矩阵M＝对应变换下(－2－1)(0，－1)(2，1)，D→D′(0，1)，则变换所成图形为平行四边形A′B′C′D′如图. 3.椭圆＋y＝1在矩阵对应的变换作用下得到什么图形？【解】　设(x)为椭圆＋y＝1上的任意一点则有x因为＝所以矩阵使得椭圆上的点的横坐标保持不变纵坐标变为0所以椭圆＋y＝1在矩阵对应的变换作用下得到的图形是线段y＝0(－3≤x≤3)即椭圆长轴.在平面直角坐标系xOy内有一点P(2)，将该点沿平行于直线x＋2y＝0的方向投影到x轴上求P2，3)在此投影变换下得到的点P′的坐标.【解】　设P(2)在此投影变换下得到的点为P′(x′)，则由题意知即→＝从而可知此投影变换对应的矩阵为由＝可知点P′的坐标为(8). 5.如图2-2-4所示已知△ABC在变换T的作用下变成试求变换T对应的矩阵M. 【导学号 图2-2-4【解】　从△ABC到△A′B′C′对应的是x轴方向上的切变变换因为A、B在x轴上原地不变注意到(－1)→C′(1，1)，由此可知这个变换对应的矩阵为.如图2-2-5所示已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A′B′C′D′试求变换T对应的矩阵M. 图2-2-5【解】　从图可以看出是一个切变变换且：→＝.T对应的变换矩阵为M＝.我们可以进行如下验证：＝＝＝＝.所以矩形ABCD在矩阵的作用下变成了平行四边形A′B′C′D′.试分析平面上的变换将平面上的点沿垂直于直线y＝x的方向投影到直线y＝x上的矩阵表示. 【解】　不妨设P(x)是平面上的任意一点则它关于直线y＝x对称的点P′的坐标为(y，x)，PP′的连线一定垂直于直线y＝x且交点为，如图所示.根据题意该变换即为→＝＝.因此将平面上的点沿垂直于直线y＝x的方向投影到直线y＝x上的变换的矩阵表示为. 能力提升]运用旋转矩阵对应变换求解下列问题：(1)求曲线x＝y逆时针方向绕原点旋转90所成的曲线方程.(2)求圆x＋y＝1绕原点逆时针旋转后得到的曲线方程. 【导学号【解】　(1)旋转变换矩阵为：＝设x＝y上任意一点(x)旋转变换后为(x′)， 则＝＝所以故y′＝(－x′)2，即旋转所成的曲线方程为y＝x(2)设x＋y＝1上的动点P(x)经过变换后得新曲线上的点为P′(x′). 则有＝＝故从而代入x＋y＝1得(x′cos ＋y′)2＋(－x′＋y′)2＝1即x′＋y2＝1.故所求曲线方程为x＋y＝1. 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。