高中数学苏教版选修4-4学业分层测评：第二章曲线的极坐标方程6Word版含答案.docVIP

学业分层测评(六) (建议用时：45分钟) 学业达标] 1．过椭圆＋＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若FA＝2FB，求直线l的斜率． 【解】　椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，c＝4， 所以e＝，p＝＝. 取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ＝＝. 设A(ρ1，θ)、B(ρ2，π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2.于是＝2×，解得cos θ＝，所以tan θ＝，即直线l的斜率为. 2．已知椭圆方程为ρ＝，过左焦点引弦AB，已知AB＝8，求AOB的面积． 【解】　如图，设A(ρ1，θ)、 B(ρ2，θ＋π)． 所以ρ1＋ρ2＝＋ ＝. 因为AB＝8， 所以＝8， 所以cos2θ＝，sin θ＝. 由椭圆方程知 e＝＝，＝，则c＝3. SAOB＝SAOF＋SBOF＝OF·ρ1·sin θ＋OF·ρ2·sin θ＝8. 3．如图4-2-4，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MNAB，并交对称轴于N. 图4-2-4 求证：MN2＝AF·BF. 【证明】　取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝. 设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，则 AF·BF＝·＝. 不妨设0＜θ＜，则MF＝(ρ1－ρ2) ＝(－)＝. 所以MN＝MF·tan θ ＝tan θ＝. 所以MN2＝AF·BF. 4．如图4-2-5，已知圆F：x2＋y2－4x＝0，抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F，过圆心且倾斜角为θ的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点． 图4-2-5 (1)当直线的斜率为2时，求AB＋CD； (2)当θ为何值时，AB＋CD有最小值？并求这个最小值． 【解】　圆F：x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4. 以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系．则圆F的坐标方程为ρ＝2，抛物线G的极坐标方程为ρ＝. 设A(ρ1，θ)、D(ρ2，θ＋π)，所以AB＝AF－2，CD＝FD－2，即AB＋CD＝AF＋FD－4＝ρ1＋ρ2－4＝＋－4＝＋－4＝－4＝－4. (1)由题意，得tan θ＝2，所以sin2θ＝. 所以AB＋CD＝－4＝6. (2)AB＋CD＝－4， 当sin2θ＝1， 即θ＝时ABF2的面积取到最小值4. 5．已知抛物线ρ＝，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求FAB的面积的最小值． 【解】　设A(ρ1，θ)、B，则 ρ1＝，ρ2＝＝. FAB的面积为 S＝ρ1ρ2＝·· ＝ ＝. 设t＝sin θ－cos θ，则sin θcos θ＝. 所以1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ＝1＋t－＝(t＋1)2. 又t＝sin θ－cos θ＝sin－，]， 所以当t＝，即θ＝时，FAB的面积S有最小值. 6．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆短轴的一个顶点，且F1PF2＝90°. (1)求椭圆C的离心率； (2)若直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，且ABF2的面积的最大值为12，求椭圆C的方程． 【导学号 【解】　(1)因为F1PF2＝90°，所以PF＋PF＝F1F，即a2＋a2＝4c2.所以e＝＝. (2)以椭圆的左焦点F1为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为 ρ＝＝. 设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)， 则AB＝AF＋FB＝ρ1＋ρ2 ＝＋ ＝＋＝. 因为F1F2＝2c，所以ABF2的边AB上的高h为2c|sin θ|，ABF2的面积S＝·AB·h＝＝ ＝. 因为＋|sin θ|≥2， 所以当|sin θ|＝1， 即θ＝或θ＝时S取到最大值． 所以当l过左焦点且垂直于极轴时，ABF2的面积取到最大值pc，所以pc＝12，即b2＝6. 故a2－c2＝6.又＝， 所以a2＝12，c2＝6. 所求椭圆的方程为 ＋＝1. 7．已知椭圆＋＝1，直线l：＋＝1，P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 【解】　如图，以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，则： 椭圆的极坐标方程为ρ2＝， 直线l的极坐标方程ρ＝. 由于点Q、R、P在同一射线上，可设点Q、R、P的极坐标分别为(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依题意，得 ρ＝， ρ2＝. 由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρ·ρ2＝ρ(ρ≠0)． 将代入， 得ρ·＝， 则ρ＝(ρ≠0)． 这就是点Q的轨迹的极坐标方程， 化为直角坐标方程，得2x2＋3y2＝4x＋6y， 即＋＝1(x、y不同时为0)． 点Q的轨迹为以