高中数学（苏教版选修2-1）课件：第3章空间向量与立体几何1.5.ppt

3.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是________. ①若a·b＝0，则a＝0或b＝0； ②若λa＝0，则λ＝0或a＝0； ③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b； ④若a·b＝a·c，则b＝c. 解析　对于①，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于③，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于④，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c). 答案　② 4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等 于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点， 则下列向量的数量积等于a2的是________. 答案　③ 课堂小结 空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模. * 3.1.5　空间向量的数量积 栏目索引 CONTENTS PAGE * 3.1.5　空间向量的数量积 预习导学 挑战自我，点点落实 * 3.1.5　空间向量的数量积 * 3.1.5　空间向量的数量积 课堂讲义 重点难点，个个击破 * 3.1.5　空间向量的数量积 当堂检测 当堂训练，体验成功 ——更多精彩内容请登录 第3章—— 3.1.5　空间向量的数量积 [学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题. 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 [知识链接] 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ [预习导引] 1.空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角 记法 范围 〈a，b〉∈ .当〈a，b〉＝ 时，a b 〈a，b〉 [0，π] ⊥ 2.空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c (3)数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|； 若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④|a·b|≤|a|·|b| 要点一　空间向量的数量积运算 例1　已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算： 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. 规律方法　计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算. 跟踪演练1　已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________. 解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0， ∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， －13 要点二　利用数量积求夹角 例2　如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝ 6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°， 求OA与BC所成角的余弦值. 规律方法　利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；②将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；③利用向量的数量积求角的大小；④证两向量垂直可转化为数量积为零. 跟踪演练2　如图所示，正四面体ABCD的每条棱 长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求 证：MN⊥AB，MN⊥CD. 要点三　利用数量积求距离 例3　正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，