高中数学（苏教版选修2-1）课件：第3章空间向量与立体几何2.3.ppt

规律方法　(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的. (2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 跟踪演练3　如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1 的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面 角A-A1D-B的余弦值. 解　如图所示，取BC中点O，连结AO. 因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC， 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1. 又BD∩BA1＝B，所以AB1⊥平面A1BD， 1.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝－ ，则l与α所成的角为________. 解析　设l与α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝ . ∴θ＝30°. 30° 2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为________. 解析　建系如图，设正方体的棱长为1， 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， A(1,0,0)， ∴AC1⊥平面A1BD. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 设BB1＝1，则A(0,0,1)， 即AB1与C1B所成角的大小为90°. 答案　90° 4.如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角 坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z 轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2， ∠VDC＝θ.当θ＝ 时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值. 解　由于AC＝BC＝2，D是AB的中点， 所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0). 课堂小结 利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系. * 3.2.3　空间的角的计算 栏目索引 CONTENTS PAGE * 3.2.3　空间的角的计算 预习导学 挑战自我，点点落实 * 3.2.3　空间的角的计算 * 3.2.3　空间的角的计算 课堂讲义 重点难点，个个击破 * 3.2.3　空间的角的计算 当堂检测 当堂训练，体验成功 ——更多精彩内容请登录 第3章—— 3.2.3　空间的角的计算 [学习目标] 1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题. 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 [知识链接] 1.怎样求两条异面直线所成的角？ 答：(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解. (2)向量法：设a、b分别为异面直线l1、l2上的方向向量，θ为异面直线所成的角，则异面直线所成角公式 cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ . 2.如何用平面的法向量表示二面角？ 答：设n1、n2是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小. [预习导引] 1.两条异面直线所成的角 (1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角. (2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0θ≤ . (3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则a，b所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝ . 2.直线与平面所成的角 (1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角. (2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤ . (3)向量求法