投资中的数学问题.pptVIP

投资中的数学问题 复旦大学数学学院 陆立强 本资料来源 更多资料请访问精品资料网() * * * 主要内容 等比级数 货币的时间价值 年金问题 投资决策 * 等 比 级 数 等比数列 等比数列之和 * 就有 注意到公式 于是 * 货币的时间价值（1） 概念和记号 P：本金—投资金额 n：投资期限 r ：利率—单位本金在单位时间（期）中的获利, 衡量投资价值的重要指标 I：利息—投资的收益，I=f(P,n,r) S：本利和，S=P+I * 货币的时间价值（2） 概念和记号 利息公式1 单利公式 当n1时，单利公式存在缺陷 * 复利公式 复利利息公式 * 说明 不难证明 复利公式和单利公式中的利率r为单期利率，一般根据年利率折算而来。 * 年利率和单期利率 ? 返回首页 ? 期长 年利率（%） 期利率（%） 活期 0.36 0.001 3月 1.71 0.4275 6月 1.98 0.99 1年 2.25 2.25 2年 2.79 5.58 3年 3.33 9.99 5年 3.60 18 * 例 银行年利率为2.25%, 一年结息一次,若三年后要得到本 利和600元,应存入多少钱? 即应存入561.26元。 解 设存入钱数为P，由 * 即约需26年. 例 若本金700元，存一年期，利率为2.25%。 若要本利和 达到1240元，需存多少时间？ 解 * 货币的时间价值 现值—n期后持有的货币（面值S)现在的价值 时间和利率是货币价值变化的“幕后推手” 背景：货币的数目随着时间(n)而变 终值—现有货币（面值P）在n期后的数值 * 例 一处房产价格为21万元，据预测三年后价格将上涨到23万元，某人欲向银行贷款来进行此项投资。设银行贷款利率为5%，按复利计算，此项投资能否盈利？ 现值P小于23万元投资额，不能盈利。 终值大于23万元，即3年后归还银行的本利和超过那时房屋的价值，不能盈利。 解1 三年后23万元的现值为 解2 21万元3年后的终值为 * 例： 某地2009年人均收入是1999年的8倍，求10年内年均收入平均年增长率。如果平均年增长率保持不变，则2020年是2009年的几倍？ 复利公式中r的多重解释 利率 增长率 收益率 解 * 年金问题 A A A A A 1 2 n n A A A A A 1 2 n-1 n 期初 期末 年金：定额定期的投资行为 记号：A—每期投资额, r—单期利率, n—投资期数 投资可发生在每期之初或每期之末 * 发生在期初年金的 终值 各期的终值 求和得 * 发生在期末年金的终值 各期的终值 求和得 * 年金终值公式的统一表示 对发生在期初的年金，t取1，对发生在期末的年金，t取0。 利用年金终值公式，得 例 零存整取 从年初开始，每月存入100元，按月息0.1425%复利记息，到年底的本利和是多少？ 解 这是期初发生的年金问题，本利和为其终值。其中 * 年金的现值 由现值公式 年金的现值为 对发生在期初的年金，t取1，对发生在期末的年金，t取0。 例 房屋抵押贷款 某人贷款购房，采用等额本息还款，若借款70万元，20年还清，月利率为0.63%，每月应还款多少？ * 解 每月末的还款可视作发生在期末的年金，其现值等于贷款总额，由现值公式 解得 * 投资决策 投资回报率 记号：投资I(元);投资行为结束时回收V(元,称为毛收益);净收益f(元),扣除本金后的收益， f=V-I. 定义：单位投资的净收益为投资回报率，记为R 对于期限相同的不同投资方案，可根据它们的投资回报率大小来判别项目的优劣。 * 有 第二项回报率高，优于第一项投资。 例 有两套房产，一套报价100万，据评估3年后升值为110万；另一套报价50万，3年后值58万。哪项投资更优？ 解 分别记两项投资的投资额、毛收益、净收益、回报率为： * 复杂投资决策举例 例 某药厂贷款进行技术改造，有两种方案： 方案1：投资100万元购买新设备，每年年末可增收20万元； 方案2：投资80万元更新设备，每年初可节省16万元的检修费； 若这些设备均可使用8年，银行贷款利率为9%，哪个方案经济效益更好？ 对投资期限不同的投资，需根据货币时间价值的观点 具体问题具体分析。 解 比较8年后的收益。 方案1：投资100万元8年后的价值为 万元 * 8年后增收的终值为 万元 净收益为 万元 方案2：投资8年后的价值为 万元 8年后节省检修费的终值为 万元 * 方案2的净收益为 万元 所以方案2优于方案1。 例 某厂试制新产品，投产后每年末可增加收益10万元，为生产该产品须增加某些设备，若购置需一次付款25万元；若租赁这些设备，每年初付租金3.3万