离散数学-几种典型的代数系统.ppt

例6 设U={a,b,c} 则2U={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 三 子格 定义5-17 设L；∨,∧是格，如果T；∨,∧ 是L；∨,∧ 的子代数，则称T；∨,∧ 是L；∨,∧ 的子格。 格2U； 对应的代数系统形式的格是2U；∪，∩. 子格也是一个格。 令 S1={{b},{a,b}{b,c},{a,b,c}} S2={φ,{a},{ c},{a, c}} S3={φ,{a},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} S1；∪，∩是2U；∪，∩的子格。 S2；∪，∩也是2U；∪，∩的子格。 S3不能与这两个运算构成2U；∪，∩的子格。 φ {a,b,c} {a,c} {b,c} {a,b} {a} {c} {b} 2 6 1 12 练习5-5 1． 设 L = {1，2，3，4，6，12}，在L上定义 整除关系，构成偏序集L; ≤。 （1） glb(6,4)= ; lub(2,3)= ； （2） 该偏序集的最小元素是 ， 最大元素是 。 12 6 4 3 2 1 3 4 1 10 （1） glb(6,9) = ; glb(8,12) = .； （2） glb(9,7) = ; lub(5,10) = .。 12 2．设L={1，2，3，…，11，12}，在L上定义 整除关系，构成偏序集. 8 4 2 1 10 5 6 3 9 7 11 下面给出的三个次序图，其中哪些是格？在图 下方相应的括号内键入“y”或“N”表示肯定或否定。 ( ) ( ) ( ) N Y Y Y Y N N 4．对下图所给出的格判断以下子集是否能构成它的 子格。在相应的括号内键入“Y”或“N”来回答 （1）S1={e,c,b} ( ) （2）S2={d,b,a} ( ) （3）S3={c,d,b} ( ) （4）S4={c,d,a} ( ) e d c b a 定义5-18 设L； ， 是一个格，若对于任意的 1, 2， 3 ∈ L，有 则称 L ； ， 是分配格。 5．6 分配格和有补格 一、分配格 1．分配格的定义 d c b a e c d b a d b c a 例3 设G ； 是一个群，定义G的子集H为 H= 试问H对于运算能否构成G ； 的子群。 解： 对任意 x G，有x e = e x = x , 所以e H， 故H是G的非空子集。 任取a , b H,则对任意x G必有a x = x a, b x = x b ，于是根据群的性质 因此a b H，根据定理5-9, H； 是G； 的子群。 定理5-10的证明： 设a H，由定理5-7，a具有有限周期，设为r， 定理5-10 设G； 是一有限群，若H； 是 G； 的子代数，则H； 是G； 的子群。 定理5-11 设G； 是一个群，若H； 是G； 的有限子代数，则H； 是G； 的子群。 其中ar –1 =ar * a –1 =e * a –1 =a，因此a–1∈H，故H;* 是G;* 的子群。 又因为运算 在 H 上封闭，所以元素 a,a2,a3，…，ar -1,ar(=e)均在 H 中， 例4 对于群Z6； 6，找出它的所有子群。 单位元e=0，1和5互为逆元，2和4互为逆元，3以3自身为逆元。 Z6； 6有如下子群： 解 按照