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小行星轨道问题
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摘要:要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道,需要在轨道平面内建立以太阳为原点的空间直角坐标系,然后在不同时刻对小行星进行观测,以确定其轨道。由于观测所得到的数据较多,但毫无疑问是存在误差的。因此,应该尽量使用到这些数据来求最优解。
关键字:椭圆,最优解,最小二乘法,Matlab,Lingo
问题描述:要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道,需要在轨道平面内建立以太阳为原点的空间直角坐标系,然后在不同时刻对小行星进行观测,以确定其轨道。已知在5个不同时刻对某颗小行星进行了5次观测,表B给出了相应的观测数据。
表1:某小行星的5次观测数据(单位:天文单位)
1
2
3
4
5
X坐标
5.764
6.286
6.759
7.168
7.480
Y坐标
0.648
1.202
1.832
2.526
3.360
注:一个天文单位等于地球到太阳的平均距离,即米。
你所要作的工作是:确定这颗小行星的轨道,如椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、近日点、远日点,以及椭圆轨道的周长等。
题解:
由开普勒第一定律:
太阳系中的所有HYPERLINK /view/22572.htm行星围绕太阳运动的HYPERLINK /view/267409.htm轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个HYPERLINK /view/213284.htm焦点上。
可知:此小行星的轨道为椭圆,太阳是这个椭圆的一个焦点。
下面以此为前提来求解小行星的轨道方程。
由于题目提供了5组观测数据,这里有两种可行的方法:
仅考虑椭圆上的这5个点,不考虑太阳的位置(不一定是焦点),设椭圆轨道方程为一般方程
然后代入5个点的坐标,使用matlab算出结果。
在考虑太阳的位置(必须是焦点)基础上,对另外五个点用最小二乘法的方法进行曲线拟合,求出最优解,从而得出方程,即认为这五个点都有一定的误差,拟合后得出最优解。
详细步骤:
第一种方法
需要确定系数利用已知的数据,不妨设欲确定系数等价于求解一个线性方程组:
可写成矩阵的形式:
其中,,,
即:
可见,解答上述问题就是对线性方程进行求解。
模型求解:
1.1利用matlab求解矩阵
代码如下:
A=[33.2237,7.4701,0.4199,11.5280 ,1.2960;39.5138,15.1115 ,1.4448 ,12.5720 ,2.4040;45.6841, 24.6433 ,3.3233, 13.5180 ,3.6460;51.3802, 36.2127, 6.3807, 14.3360, 5.0520;54.8785, 49.7818, 11.2896, 14.8160 ,6.7200]
B=[-1 ;-1; -1; -1; -1 ]
inv(A)*B
结果:
A =
33.2237 7.4701 0.4199 11.5280 1.2960
39.5138 15.1115 1.4448 12.5720 2.4040
45.6841 24.6433 3.3233 13.5180 3.6460
51.3802 36.2127 6.3807 14.3360 5.0520
54.8785 49.7818 11.2896 14.8160 6.7200
B =
-1
-1
-1
-1
-1
ans =
0.0507
-0.0351
0.0381
-0.2265
0.1321
所以,轨道方程是:
1.2画出轨迹图:
代码如下:
x=-3.5:0.01:15.7;
y=(-24.92+5.66*x+sqrt((5.66*x-24.92).^2-4*2.58*(4.23*x.^2-41.02*x+1)))/5.16;
y1=(-24.92+5.66*x-sqrt((5.66*x-24.92).^2-4*2.58*(4.23*x.^2-41.02*x+1)))/5.16;
plot(x,y,x,y1),grid on
结果:
显然,太阳(坐标(0,0))不在椭圆的焦点,而在小行星的轨道附近,这是不符合实际的。因此,使用这种方法得到的结果,误差较大,舍弃。
第二种方法
根据椭圆上的点到两焦点的距离和为定值,设另一个焦点的坐标为F(m,n),半长轴为a。
使用最小二乘法求最优解。列出式子如下:
根据上面的式子运用lingo求解
代码如下:
model:
sets:
VOR/1..5/: x, y;
Endsets
data:
x,y=5.764 0.648
6.286
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