空气动力学-第3章.ppt

第3章 理想不可压缩流体平面位流 3．1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程 3．2 几种简单的二维位流 3．2．1 直匀流 3．2．2 点源 3．2．3 偶极子 3．2．4 点涡 3．3 一些简单的流动迭加举例 3．3．1 直匀流加点源 3．3．2 直匀流加偶极子 3．3．3 直匀流加偶极子加点涡 3．4 二维对称物体绕流的数值解 本章讨论怎样求解不可压理想流体无旋运动的规律。 在理想不可压条件下欧拉方程和连续方程包括四个方程和四个未知函数（u,v,w,p），理论上是可解的 由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非常困难的，原因在于方程包含非线性项，而且方程中速度与压强相互耦合，需要一并求出 §3．1 平面不可压位流的基本方程 有无旋条件，就有位函数φ 存在，并且位函数与速度分量之间满足： 平面流动的连续方程是： 结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程： 该方程称为拉普拉斯方程，是个只与速度有关的线性方程，给定适当边界条件方程是容易求解的。 代入无旋条件： 也满足拉普拉斯方程： 这也是只与速度有关的线性方程，给定边条容易求解。 位函数与流函数的关系称为柯西－黎曼条件： 2. 叠加原理 拉普拉斯方程可用算子 ▽2 表为 ▽2φ＝0。它是个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。 所谓叠加原理是说如果有 分别满足拉普拉斯方程，则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方程： 此外，由于速度分量与位函数之间的关系是线性的因此也满足叠加原理： 而压强与速度间关系为非线性故不满足叠加原理 位函数Φ的性质小结 速度位函数由无旋条件定义，位函数值可以差任意常数而不影响流动。 (2) 速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度位函数沿着流线方向增加。 (3) 对于理想不可压缩无旋流动，速度位函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭加原理。 流函数Ψ的性质小结 (1) 流函数由平面不可压缩连续条件定义，流函数值可以差任意常数而不影响流动。 §3．2 几种简单的二维位流§3．2．1 直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为 流动是无旋的，由速度位全微分 积分可得位函数： 又可求出流函数： 流线与等位线是正交的如图 常用的是这样的直匀流，它与 x 轴平行，从左面远方流来，流速为 。 此时 §3．2．2 点源 点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有 Vr，而没有 Vθ 。 如果源的位置不在坐标原点，而在 A（ξ,η）处，则 §3．2．3 偶极子 等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（-h，0）处，汇放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇，流动情况如图: 现在我们考虑一种极限情况，当 h→0 但同时 Q 增大，使 保持不变的极限情况。 这时位函数变成 显然等位线Φ=C是一系列圆心在 x 轴上的圆，且都过原点。 求流函数： 上述位函数可写为: 两个分速的表达式是 合速 要注意偶极子有轴线方向，上述布于 x 轴上的 正负源形成的偶极子其轴线在－x方向，对于 指向正 x 方向的偶极子，上述位函数、流函数 和速度分布都要改变符号。 如果偶极子轴线和 x 轴成θ角，正向指向第三象限如图所示，在 x’y’ 坐标系中的位函数及流函数可写为： 如果偶极子位于（ξ，η），轴线和 x轴 成θ角，正向指向第三象限，则 §3．2．4 点涡 点涡可以看成实际旋涡的涡核直径趋于零时的一种极限情况，除涡所在一点外，整个平面流场是无旋的，流体被点涡诱导绕点涡作圆周运动，流线是一些同心圆，流速只有周向速度 ，而没有径向速度 。 绕点涡的环量Γ是个确定的常数，例 如绕半径为 r 的圆环作环量计算，有： 式中的 是个常数称为点涡的强度，反时针方向为正。从而周向速度与离开中心点的距离 r 成反比： 事实上沿任意形状的围线计算环量，值都是 ，只要这个围线把点涡包围在内。但不包含点涡在内的围线，其环量却是等于零的。 在 x 轴上有一个合速度为零的点称为驻点A，令 即得