空解(第7次课).ppt

一. 二次曲面 例6.直线 * * * 主要内容 一.二次曲面 二.练习题 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 1. 椭球面 20 椭球面与三个坐标面的交线分别为： 10 ∴椭球面包含在以原点为中心 边长分别为2a,2b,2c的长方体内. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 30. 用平面 z=z1( ) 截椭球面得交线为椭圆: 同理:用平面 x=x1( )和y=y1( ) 截椭球面 得交线也是椭圆. 40. 椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别： 方程可写为 与平面 的交线为圆. 球面 截面上圆的方程 方程可写为 如此等等. 2. 抛物面 （ 与 同号） ------椭圆抛物面 用截痕法讨论： （1）用坐标面 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 设 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上. 与平面 不相交. （2）用坐标面 与曲面相截 截得抛物线 与平面 的交线为抛物线. 它的轴平行于 轴 顶点 （3）用坐标面 ， 与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 时可类似讨论. z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下： (4) 特殊地:当 p=q 时,方程变为 旋转抛物面 （由 面上的抛物线 绕z轴旋转而成的） 与平面 的交线为圆. 当 变动时，这种圆的中心都在 轴上. （ 与 同号） 双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论可得 x y z o 3.双曲抛物面（马鞍面） 图形如下： 4. 双曲面 ------单叶双曲面 （1）用坐标面 与曲面相截 截得中心在原点 的椭圆. 10. 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上. （2）用坐标面 与曲面相截 截得中心在原点的双曲线. 实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合. 双曲线的中心都在 轴上. 与平面 的交线为双曲线. 实轴与 轴平行, 虚轴与 轴平行. 实轴与 轴平行, 虚轴与 轴平行. 截痕为一对相交于点 的直线. 截痕为一对相交于点 的直线. （3）用坐标面 ， 与曲面相截 均可得双曲线. 单叶双曲面图形 x y o z 平面 的截痕是两对相交直线. 双叶双曲面 x y o 20. 二. 典型例题 例1 解 由题设条件得 解得 例2 解 过已知直线的平面束方程为 由题设知 由此解得 代回平面束方程 或 例3 解 将两已知直线方程化为参数方程为 即有 例4 解 所求投影直线方程为 例5. 解: A B 绕 z 轴旋转一周, 求此旋转 转曲面的方程. 解: 在 L 上任取一点 旋转轨迹上任一点, 则有 得旋转曲面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转双曲面