2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案.doc

新东方在线考研资料免费下载中心 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:1～8小题每小题4分共32分.下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.，，当时，（ ） （A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小 （C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与是等价无穷小 【答案】（C） 【详解】， ，即 当时，， ，即与同阶但不等价的无穷小，故选（C）. 2、已知由方程确定，则（ ） （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】（A） 【详解】当时，. 方程两边同时对求导，得 将，代入计算，得 所以，，选（A）. 3、设，，则（ ） （A）为的跳跃间断点 （B）为的可去间断点 （C）在处连续不可导 （D）在处可导 【答案】（C） 【详解】，， ，在处连续. ，， ，故在处不可导.选（C）. 4、设函数，若反常积分收敛，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（D） 【详解】 由收敛可知，与均收敛. ，是瑕点，因为收敛，所以 ，要使其收敛，则 所以，，选D. 5、设，其中函数可微，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（A） 【详解】， ，故选（A）. 6、设是圆域位于第象限的部分，记 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（B） 【详解】根据对称性可知，. （），（） 因此，选B. 7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B） 【详解】将矩阵、按列分块，， 由于，故 即 即C的列向量组可由A的列向量组线性表示. 由于B可逆，故，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）. 8、矩阵与相似的充分必要条件是（ ） （A） （B）为任意常数 （C） （D） 为任意常数 【答案】（B） 【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值. 由的特征值为2，，0可知，矩阵的特征值也是2，，0. 因此， 将代入可知，矩阵的特征值为2，，0. 此时，两矩阵相似，与的取值无关，故选（B）. 二、填空题9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. . 【答案】 【详解】 其中， 故原式= 10、设函数，则的反函数在处的导数 . 【答案】 【详解】由题意可知， . 11、设封闭曲线的极坐标方程方程为，则所围平面图形的面积是 . 【答案】 【详解】面积 12、曲线上对应于点处的法线方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知，，故 曲线对应于点处的法线斜率为. 当时，，. 法线方程为，即. 13、已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件，的解为 . 【答案】 【详解】，是对应齐次微分方程的解. 由分析知，是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为，为任意常数. 由，可得 ，. 通解为. 14、设是3阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若 ，则 . 【答案】-1 【详解】 等式两边取行列式得或 当时，（与已知矛盾） 所以. 三、解答题15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.时，与为等价无穷小，求和的值. 【详解】 故，即时，上式极限存在. 当时，由题意得 16、（本题满分10分） 设D是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，，分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值. 【详解】根据题意， . 因，故. 17、（本题满分10分） 设平面区域D由直线，，围成，求 【详解】根据题意 ， 故 18、（本题满分10分） 设奇函数在上具有二阶导数，且，证明： （Ⅰ）存在，使得； （Ⅱ）存在，使得. 【详解】（Ⅰ）由于在上为奇函数，故 令，则在上连续，在上可导，且，.由罗尔定理，存在，使得，即. （Ⅱ）考虑 令，由于是奇函数，所以是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，，.由罗尔定理可知，存在，使得，即. 19、（本题满分10分） 求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 【详解】设为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为 构造拉格朗日函数 由 得 点到原点的距离为，然后考虑边界点，即，，它们到原点的距离都是1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为，最短距