线性代数课本课件 2.3.pptVIP

1、可逆矩阵 2、正交矩阵 §2.3 逆矩阵 概念的引入 为 a 的倒数 (或称a的逆). 在矩阵的运算中, 单位阵E相当于数的乘法运算中 的1; 那么对于矩阵A, 如果存在一个矩阵 在数的运算中, 时, 有 当数 其中 使得 则称A为可逆矩阵, 为A 的逆阵. 定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B, 则称矩阵A是可逆的, 并把矩阵B称为A的逆矩阵. 使得 1、可逆矩阵的概念和性质 注 可逆矩阵也称为非退化阵或非奇异阵. 例 设 解 . 的一个逆矩阵 注 方阵才有可逆矩阵. 定理 (唯一性) 若A是可逆矩阵, 则其逆矩阵是唯一的. 证 设B和C 都是A的逆矩阵, 则有 可得 所以A的逆矩阵是唯一的, 即 逆矩阵的求法一：待定系数法 例 设 解 设 是A的逆矩阵 则 例 设 解 设 是A的逆矩阵 又因为 所以 注 对角矩阵 ,其中 对角矩阵A可逆, 且其逆矩阵 单位阵E可逆, 且其逆矩阵为其自身: 逆矩阵的运算性质 证 证 利用逆矩阵概念，可方便表出线性代数方程组的解. 事实上, 对 n×n（即n个n 元）线性代数方程组， Ax = b 当A是可逆矩阵时，可表出其解为： 可简写为： x = A-1 b 定义 对给定的方阵 A，若满足 A AT = AT A = I 则称A为正交矩阵. A-1 = AT 事实上，同逆矩阵的定义相比较发现，正交矩阵即为满足 的矩阵. 2、正交矩阵 例 试证下面的矩阵均为正交阵