线性代数课本课件 2.5.pptVIP

* * 1、定义与性质 2、矩阵的等价标准型分解 §2.5 初等变换与初等矩阵 3、再论可逆矩阵 4、n×n线性代数方程组的唯一解 矩阵的初等变换起源于解线性方程组的3类同解变形，利用初等变换将矩阵 A 化成形状“简单”的矩阵B ，以通过 B 探讨或解决与 A 有关的问题或某些性质是讨论矩阵问题的常用方法. 定义 分别称以下3 类变换为矩阵的第1、2、3 类行(row)或列(column)初等变换： 1、对调矩阵中任意两行(或列)的位置； 用 rij (或 cij )表示对调一个矩阵的第 i 行(列)与第 j 行(列)的第1类行(列)初等变换. 记为 ri ? rj (ci ? cj ) 1、定义与性质 (对换变换) 3、将矩阵某行(或列)的数量倍数加到另一行(或列)去. 用 rij (k) (或 cij (k) )表示以 k 乘矩阵第 i 行(列)后加到第 j 行(列)的第3 类行(列)初等变换 记为 rj → rj + kri ( cj → cj + kci ) 定义 把行初等变换与列初等变换统称为初等变换 (倍加变换) 2、以一非零常数乘矩阵某一行(或列)； 记为 ri → αri (ci → αci ) 用 ri (α) (或 ci (α) )表示以α≠ 0 乘矩阵第 i行(列)的第2类行(列)初等变换. (倍乘变换) 例 定义 对m ? n 矩阵 A 做有限次初等变换后得矩阵 B,则称矩阵 B 与 A 是等价(或相抵)矩阵(equivalent matrix)，记作 B ～ A 等价“～”关系的性质 (1)自反性 (2)对称性 (3)传递性 若 B ～ A，则 A ～ B 若 A ～ B , B ～ C，则 A ～ C A ～ A 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如 两个线性方程组同解 就称这两个线性方程组等价 定义 对单位阵施以一次行(列)初等变换后所得到的矩阵称为相应的行(列)初等矩阵 分别记第1、2、3 类行列初等矩阵为 Rij , Ri (α) , Ri j ( k ) 或Cij , Ci (α) , Ci j ( k ) , 第 i 行 第 j 行 第 i 行 第 i 行 第 j 行 行初等矩阵与列初等矩阵统称为初等[矩]阵 定理 对m ? n矩阵A,做一次行(列)初等变换，所得的矩阵B，等于以一个相应的 m 阶行(n阶列)初等矩阵左(右)乘A. 定理 初等矩阵都是可逆阵，且其逆阵亦为同类型的初等矩阵，有 类似地有 定理 非退化阵经过初等变换后仍为非退化阵,而退化阵经过初等变换后仍为退化阵. 定义 若一个矩阵具有如下特征就称之为阶梯(形)矩阵 (1)零行(即其元素全为零的行)位于全部非零行的下方(如果矩阵有零行的话); 将一般矩阵化成标准形矩阵 (2)非零行的首非零元 (即位于最左边的非零元) 的列标随其行标严格递增. 定义 若阶梯矩阵具有如下特征就称之为行最简形矩阵 (1) 非零行的首非零元为1; (2) 非零行的首非零元所在列的其余元素皆为零. 例 都是阶梯矩阵, 但只有B是行最简形矩阵; 矩阵 都不是阶梯矩阵. ~ ~ ~ ~ ~ r3?r4 1 1 ?2 1 4 0 1 ?1 1 0 0 0 0 2 ?6 1 1 ?2 1 4 0 2 ?2 2 0 0 ?5 5 ?3 ?6 0 3 ?3 4 ?3 1 1 ?2 1 4 2 ?1 ?1 1 2 2 ?3 1 ?1 2 3 6 ?9 7 9 r4?2r3 矩阵初等变换举例 r1?r2 r2?r3 r3?2r1 r4?3r1 1 1 ?2 1 4 0 1 ?1 1 0 0 0 0 2 ?6 0 0 0 1 ?3 r2?2 r3?5r2 r4?3r2 r3?2 r1?r2 r2?r3 行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 1 0 ?1 0 4 0 1 ?1 0 3 0 0 0 1 ?3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ?3 定理 任意非零矩阵总可以经行初等变换化为阶梯矩阵及行最简形矩阵。 注 一个矩阵经行初等变换所化成的阶梯矩阵显然不唯一；但所化成的行最简形矩阵是唯一的. 定义 若一个矩阵具有如下特征就称之为标准形矩阵 (1) 位于左上角的子块是一个r阶单位阵; (2) 其余的子块(若有的话)都是零矩阵. 例如 都是标准形矩阵 行最简形