线性代数课本课件 3.1.pptVIP

例：设 , D的(i, j)元的余子式和 代数余子式依次记作 Mij 和Aij ，求 分析：利用 及 第三章 行 列 式 行列式是个有用的工具，利用行列式不仅可表述n 阶矩阵为非退化阵的条件；而且可导出逆阵公式以及著名的克拉默(Cramer)法则等；今后还将用以定义许多重要的概念. 本章用展开方式定义n阶行列式的概念，介绍常用的性质、计算方法并较为集中地概述它的一些应用. §2.1 行列式的概念和性质 §2.2 行列式值的计算 §2.3 若干应用(逆阵公式、克拉默法则等) 本章的主要内容 重点内容 行列式的计算 1、概念 2、性质 §2.1 行列式的概念和性质 一、 概念 对任一n阶矩阵 ，用式子 或用大写字母 D 表示, 常把上述表达式称为 A 的行列式 (determinant), 记作det A 表示一个与 A 相联系的数， 而把相联系的那个数称为行列式的值. 今后，称上述具有n 行n 列的表达式为n 阶行列式. 定义 把删去第i 行及第j 列后所得的(n–1)阶子矩阵称为对应于元 aij 的余子矩阵，并以Sij 记之. 对一n阶矩阵 对 n = 2, 3, … , 用以下公式递归地定义 n 阶行列式之值： def 定义 一阶矩阵 [a11 ]的行列式之值定义为数a11 ，即 det [ a11 ] def a11 例 设 def ，计算该行列式的值 解 因有 S11 = [ a22 ], S12 = [ a21 ], 故 — + 例 设 , 计算 det A 的值. 解 def 若写出计算3 阶行列式值的公式为 以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式 说明 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负. 结论 n 阶行列式的值是 n！个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行列式不同行又不同列的n 个元之乘积. 定义 对 n 阶行列式 det A，称 det Sij 为元 aij 的余子式 , 称 为元 aij 的代数余子式. 例如 根据该定义，可重新表达行列式的值 def 其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式. 相当于把行列式按第一行展开 注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 2、性质 定理 对n 阶矩阵 A ，有 行列式的值也可按第1列展开计算. 例如 推论 若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零. 性质2 互换行列式的两行(列),行列式值反号. 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数 k 乘此行列式. 请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用 乘以此行列式. 推论 对 n 阶行列式A ，有 推论 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零． 证 推论　一行(或列) 元素全为0的行列式值等于零． 性质4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和 则 D 等于下列两个行列式之和 例如 性质6　把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变． 例如 行列式等值变形法则 定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 或表达为 若行列式按列展开，有 定理 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即 行列式的展开定理 证 将行列式按第 i 行展开,有 如果将行列式中的aij换成akj，那么自然有 行列式含有两个相同的行, 值为 0 . 综上所述,得公式 注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的． 利用行列式按行按列展开定理, 并结合行列式性质,可简化行列式计算： 方法 计算行列式时, 可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式. 例 计算行列式 解 定理 设 L 是有如下分块形式的 ( n +p ) 阶矩阵 其中 A 是 n 阶矩阵， B 是 p 阶矩阵，则有 在 A、B 是方阵时也成立 定理 若A、B是两个同阶矩阵，则 注意 公式中C 的元之具体值对