线性代数课本课件 3.3.pptVIP

问题：以上规律对n阶线性方程组是否成立？ * * * 1、转置伴随阵　逆阵公式 2、克拉默法则 3、概述＊ §3.3 行列式的应用 对任一n 阶矩阵 A= [ aij ] ，用 adjA 记与之同阶的 对任一 n 阶矩阵 A，可用其元之代数余子式构成一个被称为 A 的转置伴随阵 (adjugate matrix)的 n 阶矩阵． 转置伴随阵 定义 转置伴随阵，有 [ Aij ]T adj A def 其中 Aij 是元 aij 在 A 中的代数余子式的值． 1、转置伴随阵　逆阵公式 即 定理 设A是n 阶矩阵， adjA 为其转置伴随矩阵，则有 或记作 证明 逆矩阵公式 定理 n 阶矩阵A为可逆阵的充分必要条件是 |A|≠0 ， 此时有 ，或记为 证明 必要性　因 A 可逆，故有 A-1 使成立 AA-1 = I 利用行列式乘法定理，得 故必 detA≠0，且由此可知 当 |A|≠0时，可得 充分性 由逆矩阵的惟一性，即知 结论成立. 例 求3阶方阵 的逆矩阵. 解 | A | = 1， 则 例 设n阶方阵A可逆, (1)证明其伴随矩阵A*可逆,并求其逆; (2)求|A*|. 证 先讨论二元线性方程组的解：用消元法解二元线性方程组 2、克拉默法则 二元线性方程组 若令 (方程组的系数行列式) 上述二元线性方程组的解可表示为 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 则其解是否可以表示为： 证 再把n个方程依次相加, 得 于是 当D≠0时, 方程组有唯一的一个解为 克拉默法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 则线性方程组有解并且解是唯一的，解可以表示成 定理中包含着三个结论： 方程组有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性） 解可以由公式给出. 注 该定理讨论的只是系数行列式不为零的方程组． 线性方程组 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组. *