线性代数课本课件 4.1.pptVIP

第四章 矩阵的秩和 数字系统方程组的高斯——若尔当消元法实际上是解线性方程组的行初等变换法. 为这种讨论提高到理性层次，并进而能处理更一般的线性方程组(例如，系数中含有参数)，需以行列式为工具建立矩阵秩的概念，通过相容性定理，线性代数方程组和矩阵有了更紧密的联系. 线性代数方程组的解 1、矩阵秩的概念 2、矩阵秩的计算 §4.1 矩阵的秩 不同的矩阵有相同的标准形; 一个矩阵可经行初 等变换化为不同的阶梯形矩阵, 但不同的阶梯形矩 阵中非零行的个数却是相同的. 这都是因为矩阵的本质特征——矩阵的秩. 定义 在m×n 矩阵A 中，任取k 行 k 列( k ≤ m, k≤n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 1、矩阵秩的概念 例 设 则 是A的全部4个3阶子式; 等是A的2阶子式; 等是A的1阶子式. 定义 矩阵A的非零子式的最高阶数称作矩阵的秩. 记作r(A) 注 矩阵A的秩为r的充要条件是A至少有一个r阶非零子式且全部r+1阶子式(如果有的话)都等于零(从而更高阶的子式亦为零); 矩阵A的一个3阶子式 矩阵 A 的 2 阶子式 若矩阵A所有2阶子式都为零，则这个3阶子式也等于零． 注 零矩阵没有非零子式，规定其秩为零; 可计算上例中A的全部4个3阶子式 都等于零， 而其2阶子式 从而A的非零子式的最高阶数是2, 由定义知，求矩阵A的秩须计算多个行列式的值. P98 例1 (1) 若A有 一个非零 k 阶子式，则必有 r(A)≥k. 此时，表明A有非零的k阶子式，但并不说明A的k阶子式均不为零. 从定义及例题可以看出: (2) 若A是 m ? n 矩阵,则必有 (3) 若A是 n 阶矩阵,则 r(A)≤n, 特别的 当|A| ≠ 0 时， r(A) = n ; 可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵． 当|A| = 0 时， r(A) n ; 不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵． 矩阵 A 的一个 2 阶子式 矩阵 AT 的一个 2 阶子式 AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 r(AT) = r(A) ． 试证 例 求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解 在 A 中，2 阶子式 ． A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0， 因此 r(A) = 2 ． 解B 注意到矩阵 B 第4行元素都等于零， 因此其 4 阶子式全为零， 同时 B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行， 以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式 ． ，因此 r(B) = 3 ． 还存在其它3 阶非零子式吗？ 例 求矩阵 A 和 B 的秩，其中 例 求矩阵 A 和 B 的秩，其中 解B B 还有其它 3 阶非零子式，例如 结论 行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数． 例 若求矩阵A的秩， 分析 在 A 中，2 阶子式 A的 3 阶子式共有 (个)， 要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的． 2、矩阵秩的计算 行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数. 一个自然的想法是用初等行变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵. 两个行等价的矩阵的秩是否相等？ 两个等价的矩阵的秩是否相等？ 一般的矩阵，当行数和列数较高时，计算其秩是比较麻烦的 定理 若A ~ B，则 r(A) = r(B) ． 即 矩阵的行(列)初等变换不改变矩阵的秩. 初等变换求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例 求矩阵 的秩，并求 A 的 一个最高阶非零子式． 解 第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故 r(A) = 3 ． 选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列, 与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列． 解 第二步求 A 的最高阶非零子式． r(A0) = 3， 这就是 A 的一个最高阶非零子式． 计算A0的前 3 行构成的子式 推论 设A是任一 m ? n矩阵,而B是m(或)n阶满秩矩阵，则必有 (或 ) 即 用满秩矩阵去乘一个矩阵时不改变这个矩阵的秩. 推论 若已知任一个m ? n矩阵A的等价标准形分解 则A的秩即为标准形矩阵的秩，且等于其左上角的单位阵的阶数.