线性代数课本课件 5.1.pptVIP

* * 第五章 向量空间初步 向量空间的理论起源对线性代数方程组解的研究，由其进一步抽象及一般化而发展起来的理论和方法，使解决一大类应用数学问题的方法得以系统化. 本章主要内容 §5.1 基本概念 §5.2 向量组的线性相关性 §5.3 向量空间的基和维 §5.4 向量的内积 §5.1 向量空间基本概念 对给定的带任意自由项 b 的 m? n 线性方程组 Ax = b 问自由项b应满足怎样的条件，方程组才相容? 定理表明 当且仅当 b 使 时, Ax = b 相容 该如何理解或解释这个条件？ 写成 对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方程组 从而得到方程组的向量形式 则方程组有解的条件是 b 可作为 的线性组合 a1 ，a2 ，… ，an 定义 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集 合称为向量组． 注 含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵． 有限向量组 定义 给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合．k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数． 定义 给定向量组A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示． 例 设 那么 线性组合的系数 e1, e2, e3的 线性组合 注 任何一个n维向量 都可由 n维基本 向量组 ε1 = (1, 0, …, 0), ε2 = (0, 1,…, 0), …, εn = (0, 0 ,…,1) 线性表示. 线性表示的系数恰好是向量 b 的各个分量. 向量的线性表示与方程组有解之间的关系 因为 所以 向量b 能由向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 方程组的一个解就是一组表示系数 . 例 设 判定向量β 是否可由向量组 解 设 β = k1α1+k2α2+k3α3 , 即 由矩阵相等的定义, 得 如果可以, 写出他们的线性表示式. 解此方程组, 得唯一解 向量β 可以由向量组 例 设a1?(1? 1? 2? 2)T? a2?(1? 2? 1? 3)T? a3?(1? ?1? 4? 0)T? b?(1? 0? 3? 1)T? 证明向量b能由向量组a1? a2? a3线性表示? 并求出表示式? 设A?(a1? a2? a3)? B?(A? b) ?(a1? a2? a3? b)? 因为 所以r(A)?r(B)? 因此向量b能由向量组a1? a2? a3线性表示? 由上列行最简形? 可得方程(a1? a2? a3)x?b的通解为 从而得表示式 b?(a1? a2? a3)x ?(?3c?2)a1?(2c?1)a2?ca3? 其中c可任意取值? 解 试问对怎样的自由项 b 方程组相容. 例 对给定的线性代数方程组 解 这是个3?2的线性代数方程组，由于方程个数大于未知数个数，一般讲，这样的方程组会是不相容的. 记为 为讨论，先将方程组改写成向量形式 若 b=a1, 则 是方程的一个解， 若 b=a2, 则 也是方程的一个解， 方程组都相容. 一般地, 若b是a1, a2的某一线性组合 ?1a1+ ?2a2时， 则 就是 方程组的一个解, 反之, 当b不能表 示成a1, a2的线性组合， 方程组是不会有解的. 若将向量a1, a2的一切线性组合成集合记为S: 则 方程组有解的充要条件是 b∈S. 向量集合S具有性质 (1) 若 , 则对任意常数 则必有 (2) 若 , 则必有 这两条性质统称为集合S对向量的线性运算封闭 定义 对n维向量(n ? 1矩阵)的集合V,若V 对向量的线性运算封闭，则称V是向量空间或线性空间(vector space, lineal space). 全体n维向量的集合Rn是向量空间； 当Rn的子集V构成向量空间时, 常称V是 Rn的向量子空间，简称子空间. 由例1知，S是向量空间，且是R3的子空间，而使方程有解的自由项向量必须在这个空间之中. y x z O b a a1 a2 S 几何解释 当且仅当自由项向量b的对应径向量落在平面S上时, 方程组有解. 定义 设a1, a2,… ak是Rn中的向量，称由其一切 线性组合所构成的向量空间为a1, a