线性代数课本课件 5.2.pptVIP

线性相关与无关的性质 * * 1、线性相关性的概念 2、性质 §5.2 向量组的线性相关性 3、向量组的秩 4、矩阵的行秩和列秩 问题1 给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？ 问题2 如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？ 向量b 能由向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 . 问题1′齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答 齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解． 事实上，可令k1 = k2 = … = km = 0 ，则 k1a1 + k2a2 + … + kmam = 0（零向量） 问题1 给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？ 问题2 如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？ 向量b 能由向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 . 问题2′齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答 齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数不一定全等于零． 1、线性相关性的概念 定义 则称向量 的数 为同维向量, 若存在不全为零 线性相关, 否则称它们线性无关. 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关(无关) m 元齐次线性方程 Ax = 0 有非零解(零解) r(A) m (r(A) = m ) 依据前面的分析可得如下重要结论 其中向量的个数就是齐次线性方程组的未知数的个数． 注 给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一; 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关，通常是指 m ≥2 的情形； 对于单个向量，当且仅当是零向量时，线性相关；否则线性无关． 两个非零向量a1? a2线性相关 ? a1?ka2(对应分量成比例)? 以上结果，显示了Rn的向量之线性相关性与齐次方程组的解及矩阵秩三者之间的联系. 向量组a1? a2线性相关的几何意义是这两个向量共线? n维单位坐标向量组构成的矩阵为 E?(e1? e2? ???? en)? 是n阶单位矩阵? 由|E|?1?0? 知r(E)?n? 即r(E)等于向量组中向量个数? 所以此向量组是线性无关的? 例 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性? 解 向量组a1? a2? ???? am线性无关?r(a1? a2? ???? am)?m? 例 已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组 a1, a2 的线性相关性． 解 可见 r(a1, a2, a3) = 2 3（向量的个数）， 故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，r(a1, a2) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关． 本例是向量个数与维数相等的特殊情形，亦即齐次方程组是n ? n的情形.此时，可计算行列式值的方法来判断线性相关性,即 若行列式不等于零，则线性无关. 故向量组a1, a2, a3线性无关. 若行列式为零，向量组线性相关； 例 已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组 a1, a2 的线性相关性． 解 设有x1? x2? x3使 x1b1?x2b2?x3b3?0? 即 x1(a1?a2)?x2(a2?a3)?x3(a3?a1)?0? 亦即 (x1?x3)a1?(x1?x2)a2?(x2?x3)a3?0? 因为a1? a2? a3线性无关? 故有 例 已知向量组a1? a2? a3线性无关? b1?a1?a2? b2?a2?a3? b3?a3?a1? 试证向量组b1? b2? b3线性无关? 证法一 利用定义 由于此方程组的系数行列式 故方程组只有零解 x1?x2?x3?0? 所以向量组b1? b2? b3线性无关? 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 证法二 反证法 因为A的列向量组线性无关? 所以可推知 Kx?0? 又因 |K|?2?0? 知方程 Kx?0 只有零解 x?0? 所以矩阵B的列向量组b1? b2? b3线性无关? 记作 B?AK? 设 Bx?0? 以 B?AK 代入得 A(Kx)?0? 例 已知向量组a1? a2? a3线性无关? b1?a1?a2? b2?a2?a3? b3?a3?a1? 试证向量组b1? b2? b3线性无关? 证法三 利用矩阵秩 因为A的