线性代数课本课件 5.4.pptVIP

* * 1、内积的概念 2、再论正交阵 §5.4 向量的内积 将两向量a与b的内积(或称标量积或数量积) 其中的记号 表向量的范数(那时称模或长度)，而 θ为向量a与b的夹角 ( 0 ? ? ? ? ). 记作a,b (那时记作 1、内积的概念 称范数为1的向量是单位向量，每个非零向量均可规范 化，得出该方向的单位向量 因为 故有 即 称夹角是 即 cos?=0 的a与b 是正交向量. 内积还可表达为 两个非零向量a与b相互正交的充分必要条件是 记号 ba表示b在a上的投影值，ba=||b||cos?. 但b在a上的投影向量是 定义残差向量为 b a b-baea 可以证明残差向量与 a 是正交的，因为 若向量a,b的坐标表示为 则有 非零向量a,b正交的充要条件即为 可将三维空间向量内积定义延伸到对Rn空间，从而发展一些几何概念并对有关算式作几何解释. 定义 对Rn空间的向量 a,b, 称数 为a,b的内积，即 常称定义了内积的向量空间或其子空间为内积空间， 带上述内积定义的向量空间Rn是内积空间或为欧几里得空间. 对于欧几里得空间，当a∈Rn ,相仿的可定义 显然，当且仅当a=0时||a||=0 向量范数 单位向量 ||a||=1 向量的规范化向量 b在a向量上的投影向量 残差向量 若a,b=0,称向量a与b是正交向量, 记作a⊥b. 规定：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交． 例 给定R4的两个向量 可算出 故 u在v上的投影向量为 残差向量是 定理 若 a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量，则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明 设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + … + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 因为 ||a1|| ≠ 0，所以 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关． 定义 两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组． 例 已知3维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交． 解 设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 ? 2 x2 + x3 = 0 等价于求方程组 得 取 定义 设 n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V ( )的一个基，如果 e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基． 例 是 R4 的一个规范正交基． 也是 R4 的一个规范正交基． 是 R4 的一个基，但不是规范正交基． 设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 的一个正交基，则V 中任意一个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer 于是 特别地，若 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基，则 问题 向量空间V的一个基 a1, a2, …, ar 向量空间 V 的一个规范正交基 e1, e2, …, er 求规范正交基的方法 第一步：正交化——施密特正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 的一个基，那么令 a1 b1 a2 a3 c2 b2 c3 c31 c32 b3 基 正交基 规范正交基 第一步：正交化——施密特正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令 故 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即 b1, b2, …, br 是向量空间 V 中的一个正交基．