线性代数习题三.docVIP

习题三 3．解： (1) 设的行最简形矩阵为，因为，即经过一系列初等行变换变为，所以存在2阶可逆矩阵，使得． 根据 如果对矩阵作初等行变换，当变为时，就变成，即为所求． 此时的行最简形为，而使得的2阶可逆矩阵． (2) 设的行最简形矩阵为，因为，即经过一系列初等行变换变为，所以存在3阶可逆矩阵，使得． 根据 如果对矩阵作初等行变换，当变为时，就变成，即为所求． 此时的行最简形为，而使得的2阶可逆矩阵 ． 注意： 此时的行最简形为，而使得的2阶可逆矩阵 ． 由此可知，本题中使得的2阶可逆矩阵不是唯一的． 相关的例子可参考课本P.64例1． 5．（3）解法一：先计算，然后． 解法二：若，则，从而． 解法三：利用，则，从而． 10．（3）错误解法：， 因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以 因为在中可以找到非零子式， 所以在中可以找到非零子式 错误原因：中子式偏偏等于零． 行阶梯形矩阵的非零子式不能决定原矩阵非零子式的位置． 11．证明：必要性由P.67定理2可知． 充分性 若、都是矩阵，，则、具有相同的标准形矩阵 因为，，所以根据等价关系的传递性，可得． 12．解： 当且时， 当时， 当时， 15．解：设所求的齐次线性方程，其中是矩阵．由通解的表达式不难看出，一共有四个未知数，其中是自由变量，故，，．由得，即． 显然与不等价，此即为所求齐次线性方程及非零行向量，使得，于是． 不妨假设，，其中，． 因为，所以的(1, 1)元，从而．于是． (2) 必要性 设，那么的标准形矩阵为，且存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得．于是 其中，分别为阶非零列向量和阶非零行向量． 20．错误解法一：根据课本P.70例题9以及P.79.11的结论，有，从而，从而线性方程与同解． 错误原因：因为，所以、未必是同型矩阵．若、不是同型矩阵时，不可能有成立．即使也未必能够推出与同解，只有当才能推出与同解的结论． 错误解法二：假设与同解，则，从而， 又因为，且是列满秩矩阵，所以，于是与有唯一解，即与同解． 错误原因：设，那么中的零向量应该是维列向量，中的零向量应该是维列向量，不同型的零矩阵不可能相等，所以以下两个结论都是错的：，从而。 解法一：设矩阵，根据课本P.70例题9的结论，有．记，于是的行最简形矩阵为，的行最简形矩阵为．显然与同解，从而线性方程与同解． 解法二：设是列满秩矩阵，那么的行最简形矩阵为，且存在阶可逆矩阵，使得． 于是，即，从而线性方程与同解． 解法三：设是的解，，于是，即也是的解． 设是的解，．因为是列满秩矩阵，即，所以只有零解，即，从而也是的解． 综上所述，线性方程与同解． 21．证明：根据P.77定理6有，方程有解当且仅当． 又，故方程有解的充分必要条件．