线性代数习题四.docVIP

习题四 1．思路：往证以及，其中因为与列等价，所以必定成立． 2．思路：往证． 3． 解法一：利用向量组线性表示的性质（P.83定理1至P.85定理3） (1) 因为，且，所以． 又，所以根据P.84定理2可知，能由线性表示． (2) 因为，且， 所以，从而不能由线性表示． 解法二：利用向量组线性相关的性质（P.89定理5） (1) 因为，所以线性无关，从而其部分组也线性无关． 又，所以线性相关． 根据P.89定理5结论(3)可知，能由线性表示． (2) 反证法 设能由线性表示．已经证明“能由线性表示”成立，故能由线性表示，这与矛盾，假设不成立，故不能由线性表示． 9．解法一：，得证． 解法二：根据题意有，，简记为． ， ，于是，从而矩阵的列向量组线性相关． 解法三：设有一组实数使得，即 ， 若线性相关，则可以不全为零，从而 不全为零，于是线性相关． 若线性无关，则，即， 因为，所以有非零解，从而线性相关． 解法四：设有一组实数使得，即 ， 显然，当，即时，上式肯定成立． 因为，所以有非零解，从而线性相关． 10． 解法一：根据题意，有 上三角形矩阵是可逆矩阵，又线性无关，故 ，线性无关． 方法二：设，即 已知线性无关，故，解得， 从而线性无关． 15．证明： 必要性 设是任一维向量，根据P.89定理5结论(2)可知，线性相关．若线性无关，则根据P.89定理5结论(3)可知可由线性表示． 充分性 设任一维向量都可由线性表示．特别地，的列向量组也可由线性表示，那么．又，故，即线性无关． 16．证明： 方法一：因为，所以线性无关． 第一步：考虑，若线性相关，则可由线性表示，即为所求．否则，转入下一步． 第二步：考虑，若线性相关，则可由线性表示，即为所求．否则，转入下一步． …… 因为线性相关，所以此过程必在第步之前结束．若在第步结束（），则向量即为所求． 方法二（反证法）：设不存在某个向量，使得能由线性表示．又设． 不能由其前面个向量线性表示，则； 不能由其前面个向量线性表示，则； …… 不能由其前面个向量线性表示，则． 于是． 又，故，从而线性无关，矛盾，假设不成立，命题得证． 17．证明：因为线性无关，所以，即是一个列满秩矩阵． 又，根据P.70例9的结论，． 于是线性无关． 18．证明：显然向量组可以由线性表示． 因为，记 当时，，可逆，于是，即向量组也可以由线性表示，原题得证． 19．解：(1) “存在3阶矩阵，使得”意味着矩阵的列向量组可以由矩阵的列向量组线性表示，矩阵就是这一线性表示的系数矩阵． 因为，，显然 所以矩阵． (2) 解法一：因为线性无关，所以，从而矩阵可逆． 又因为存在3阶矩阵，使得，所以，． 解法二：因为，所以，即是齐次线性方程组的解．又因为线性无关，所以，即是齐次线性方程组的非零解，于是，． 21．解：如果能找到两个线性无关的解向量，则即为所求． 于是可以得到一个与同解的方程组， 令和为自由变量，解得． 不妨令，则即为所求． 注意：是否把矩阵化为行最简形矩阵并不影响方程组的求解．本题中，如果机械地把矩阵化为行最简形矩阵，会涉及不少分数运算，容易计算出错．另外，选取不同的变量充当自由变量，会得到不同通解．但是根据分析，方程组任意两个线性无关的解向量构成的矩阵都是满足题目要求的，故本题的答案应该不唯一。事实上，任取下列四个解向量中的两个都构成的基础解系： 22．解：因为是4维向量，所以方程组有4个未知数，即系数矩阵的列数等于4．另一方面，因为基础解系含2个线性无关的解向量，所以，方程的个数可以是任意个．考虑构造一个矩阵，且． 解法一：因为，，所以，记，显然和线性无关，构成齐次线性方程组的一个基础解系，那么通解可表示为 ． 容易看出：可令，做自由变量，那么，．于是取即是所求，对应的齐次方程组为． 解法二： 是的基础解系 且，其中 且 的两个列向量是的两个线性无关的解，其中是矩阵 的两个列向量是的基础解系（因为） 基础解系为，于是，从而，对应的齐次方程组为． 24．解：因为，所以，根据矩阵的秩的性质8有，． 又，根据矩阵的秩的性质6有， ． 综上所述，． 25．证明： (1) 当时，，从而（P.56第24题的结论），． (2) 当时，，，，． 又因为当时，中一定存在阶非零子式，故不是零矩阵，． (3) 当时，中所有阶子式都等于零，故是零矩阵，． 27．解：因为四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，所以对应的齐次线性方程组的基础解系只包含解一个向量，构造如下： ， 于是四元非齐次线性方程组的同解可表示为． 28．思路： (1) (2) (3) 29．解：三直线相交于一点（其