线性代数习题五.docVIP

习题五 4．证明： (1) ，所以是对称阵． (2) 是正交阵，因为 综上所述，是对称的正交阵． 5．证明：因为，，所以 ． 7．证明：因为，即与有相同的特征多项式，从而与有相同的特征值． 8．证明：因为，所以． 是的特征值． 同理，也是的特征值，故，有相同的特征值． ，对应于特征值的特征向量依次是和的非零解． ，对应于特征值有相同的特征向量有非零解有非零解． 下面往证成立． ，得证． 9．错误证明过程：因为，所以 ， 那么或，从而的特征值只能等于1或2． 正确证明过程：记，． 若是的特征值，则是的特征值． 因为，零矩阵的特征值必等于零，所以，解得或，从而的特征值只能等于1或2． 10．证明：因为，，所以 故是的特征值． 11．证明：设非零列向量是对应于特征值的特征向量，那么．在等号两边同时乘以矩阵，得． 若，则也是的特征值，是对应的特征向量． 若，则，已知是非零列向量，故，矛盾，这说明必有． 12．解：已知3阶矩阵的特征值为1, 2, 3，记，有，于是，，是的特征值，从而有 ． 13．解：已知的特征值为1, 2, －3，那么，可逆，于是，所以，记作．记，于是，，是的特征值，从而有 ． 14．证明：因为可逆，所以 即与相似． 15．解：矩阵的特征多项式 得，． 对应单根，可求得线性无关的特征向量一个，故矩阵可对角化的充分必要条件是对应重根有2个线性无关的特征向量，即方程组有2个线性无关的解，亦即系数矩阵的秩等于1． 由，要，得，即． 因此，当时，矩阵可对角化． 16．解： (1) 即，得． (2) 得． 矩阵可对角化的充分必要条件是对应重根有3个线性无关的特征向量，即方程组有3个线性无关的解，亦即系数矩阵的秩等于0． 显然不是零矩阵，系数矩阵的秩不等于0，因此矩阵不能相似对角化． 17． 得． 当时，解方程组．由，得基础解系，所以是对应于的全部特征值． 当时，解方程组．由，得基础解系，所以是对应于的全部特征值． 当时，解方程组．由，得基础解系，所以是对应于的全部特征值． 令，则，且 ， 于是，从而有． 18．解： (1) (2) 令，则矩阵的特征多项式 得． 当时，解方程组．由，得基础解系，所以是对应于的全部特征值． 当时，解方程组．由，得基础解系，所以是对应于的全部特征值． 令，则，且 于是，从而有 ， 于是 其中． 19．仿照P.125例12 20．解：若与相似，则与有相同的特征值，从而根据课本P.117特征值的性质，有且． 解方程组得 仿照P.125例12求得正交矩阵，使得，其中并不唯一，例如： 或 注意：下列矩阵虽然满足，但不满足，即不是正交矩阵． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 21．解：记，构造可逆矩阵，因为，所以． 22．解：先求对应的特征向量． 因为是对称矩阵，根据课本P.124定理6可得，两两正交，即是下列齐次线性方程组的非零解． 它的基础解系为，取，构造可逆矩阵，因为，所以． 23．解：因为3是对称矩阵的二重特征值，根据课本P.124定理7可得，对应的线性无关特征向量恰有两个，记作，下面求． 因为是对称矩阵，根据课本P.124定理6可得，应满足方程，即． 它的基础解系为，取，构造可逆矩阵，因为，所以． 24．(1) 证明：因为，，所以是对称矩阵，且．于是，即，，故是的特征值． 根据可得对应特征值恰有个线性无关的特征向量． 再根据课本P.124定理7可得，是的重特征值． (2) 解：设是的所有特征值，根据上面的讨论，若，则． 因为是对称矩阵，根据课本P.124定理7可知，恰有个线性无关的特征向量，分别记为． 当时，求解，即． 因为 即当且仅当， 所以的基础解系为， 于是取． 因为是对称矩阵，所以当时，应满足方程． 根据上面的讨论，显然有，取． 综上所述，． 25．仿照课本P.126例13 28．仿照课本P.130例14 1