3.三次样条曲线3.三次样曲线条曲线.ppt

PLCS Inc. (c) 2002 CAD/CAM技术基础 闫崇京 机电学院航空宇航制造工程系 三次样条曲线 1. 插值问题和样条函数 1.1 插值问题 1.2 样条函数的工程背景 1.3 三次样条函数的数学定义 1.1 插值问题 插值 给定一组有序的数据点(xi,yi,zi),i=0,1, …,n，要求构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值（interpolation），所构造的曲线称为插值曲线。 逼近 构造一条曲线使之在某种意义下最为接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近（approximation），所构造的曲线称为逼近曲线。 拟合 插值和逼近统称为拟合（fitting）。 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线性函数：y=ax+b，近似代替，称为f(x)的线性插值函数。 抛物线插值:已知在三个互异点 的函数值为 ，要求构造一个函数 使抛物线 在结点 处与 在 处的值相等 1.2 样 条 函 数 的 工程背景 模线绘制的一般过程 打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上 放 样 现 场 1.3 三次样条函数的数学定义 　　定义 给定［a,b］的分划：a=x0x1…xn=b, 如果函数s(x)在区间［a,b］上满足以下条件： （1）在每一个子区间（xi,xi+1）(i=0,1,…,n-1) 上s(x)是三次多项式；  （2） s(x)在区间［a,b］上具有二阶连续导数； （3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n), s(x0)=y0, s′(xn)=yn。 我们就称s(x)为三次样条函数。 2. 三次样条的理论基础 2.1 Hermite 基 函 数 2.2 三切矢方程 2.3 三次样条插值的局限性 Charles Hermite（1822－1901） 法国洛林（Lorraine ） 巴黎综合工科技术学院 曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。法兰西科学院院士。 在函数论、高等代数、微分方程等方面都有重要发现。1858年利用椭圆函数首先得出五次方程的解。1873年证明了自然对数的底e的超越性。在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念（表示某种对称性）很多，如“Hermite二次型”、“Hermte算子”等。 Hermite基函数的性质 例题 求过0,1两点构造一个三次插值多项式,满足条件： f(0)=1, f (0)=1/2 , f(1)=2, f (1) =1/2 2.2 三 切 矢 方 程 自变量取x， 取区间宽度hi= xi-xi-1,则 记 矩阵表达式 三切矢方程的普通表达形式 二阶连续的条件 2.3 三次样条插值的局限性 不能解决大挠度问题。 不具有局部可修改性。 曲线中夹有直线段时拟合效果不好。 拟合二阶导数不连续曲线产生较大波动 曲线中夹有直线段时拟合效果不好 拟合二阶导数不连续曲线产生较大波动 三次样条曲线无端点条件 数值微分方法（抛物线插值） 型值点列的确定 采用均匀分布的节点，使得计算简单，且拟合效果好。 m值和M值的几何意义 三切矢方程 如何求解：（n-1）个线性方程，内节点的m1、m2、 …、mn-1未知 三切矢方程的边界条件 ① 已知m0和mn ② 已知两端点处的二阶导数。 ③ 未知①、 ② 相邻三个节点拟合抛物线，并数值微分求端点的一阶导数。 三切矢方程的求解 两个边界条件 追赶法求解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y xi-1 xi a b yi yi-1 yi+1 xi+1 ——参数样条解决 ——B样条 若 两点间为直线，令 = 在 两点间严格为直线，它具有所需要的斜率 其方程为 (3.12) ——增补型值点，指定切矢量 求导一次后用 代入即得 同理可得曲线末端点 主要内容 1. 插值问题和样条函数 2. 三次样条的理论基础 线性插值与抛物线插值 1.1 插值问题 已知 n+1个节点 其中 互不相同，不妨设 求任一插值点 处的插值 节点可视为由 产生, 表达式复杂, 或无封闭形式, 或未知。 ? ? ? ? ? ? 求 解 插 值 问 题 的 基 本 思 路 构造一个(相对简单的)函数 通过全部节点, 即 再用 计算插值，即 ? ? ? ? ? ? 几 种 常 用 插 值 方 法 分段线性插值： 收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑 三次样条插值:(*) 曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难 B样条插值： 曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证 实际中