4.极限运算法则4.极限运法则算法则.ppt

第四节 一、无穷大与无穷小 定理 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 无穷小的性质 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求下列无穷小的和的极限 例2. 求 定义2 . 例2 . 证明 二、 极限的四则运算法则 推论: 若 定理 3(2) .若 定理 3(3). 若 定理4:若 例3. 设有分式函数 例5 . 求 例6 . 求下列函数的极限 3 . 求 一般有如下结果： 三、 复合函数的极限运算法则 3. 复合函数的极限运算法则(证明) 例7. 求 例8 . 求 例10：求下列函数的极限 例11. 求 例12. 试确定常数 a 使 例13 内容小结 思考及练习 为无穷小 且 B≠0 , 则有 证: 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 为无穷小, 则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此结论可由 定理1 , 2, 3直接得出 . x = 3 时分母为 0 ! 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例4. 若 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 解: 例7. 求 解: 分子分母同除以 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 为非负常数 ) 定理6. 设 且 x 满足 时, 又 则有 2. 若定理中 则类似可得 说明:1.公式表明，在相应条件下求复合函数的极限，可通过代换化复合函数为简单函数. 定理. 设 且 x 满足 时, 又 则有 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立. 解: 令 已知 ∴ 原式 = 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 例9* 分析函数复合的层次： 解 首先改写 （分子有理化） 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = 解 : 令 则 故 因此 * 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小与无穷大 极限运算法则 利用极限的定义可以验证一个函数在某一极限过程 是否以常数A为极限,一般来说是比较繁琐的。但今后遇 到的最多的问题是判断一极限过程中函数有没有极限? 如果有如何求出极限.这往往是通过一些已知的简单极 限去寻求比较复杂的函数的极限,这就要用到极限的运 算法则。 本节介绍的几个定理,不仅可以用来求一些函数的 极限,也可以用来判断某些函数的极限是否存在,并可以 导出其他一些运算法则.学习时注意结论和结论的条件. 极限运算法则 无穷小： 注意：无穷小与很小的数的区别。 定义：如果当 （或 ）时函数 的极限为零，那么 叫做 （或 ）时的无穷小. 以0为极限的数列 也称为 时的无穷小. 在 的变化过程中是否为无 穷小量，与 x 的变化趋势有关。 如当 其中? (x) 为 时的无穷小量 . 证: 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 时, 有 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . （P57,题3） 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 解: 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 3 二、 无穷大 若任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 注意 1）无穷大是变量, 它是描述函数的一种状态,它不是很大的数,不能与很大的数混淆. 3) 无穷大是一种特殊的无界变量, 但 2）不可认为 极限存在； 是无界变量未必是无穷大. 有界 无界 无穷大 存在某“时刻” ,那时刻后 一切 x，均满足 概念回放 故函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 故函数为无界,但 所以 时 , 不是无穷大 ! 4）若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 证: 任给正数 M , 要使