5极限运算法则.ppt

第五节 极限运算法则 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理3 (2)由读者自己证明，再证(3). 推论1 如果limf(x)存在，而c为常数，则 lim[cf(x)]=climf(x). 推论2 如果limf(x)存在，而n是正整数，则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n. 定理3的(1)、(2)可推广到有限个函数情形.例 如，如果limf(x)， limg(x)， limh(x)都存在，则有 lim[f(x)+g(x)–h(x)] =limf(x)+limg(x) –limh(x), lim[f(x)· g(x) · h(x)] =limf(x) · limg(x) · limh(x). 定理4 设有数列{ }和{ } 那么 定理5 =3 – 2+1 =2. 例5、6、7是下列一般情形的特例，即当 ，m和n为非负整数时，有 = 例 11 已知 定理6(复合函数极限运算法则) 设函数y=f [g( x)]是由 函数 y=f (u) 与函数 u =g(x)复合而成，f [g( x)]在点 的某去心邻域内有定义. 若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则 证明：按函数 极限的定义，