06 第六节 极限运算法06 第六节 极限运算法则06 第六节 极限运算法则06 第六节 极限运算法则.doc

第六节 极限运算法则 本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“”下面没有表明自变量的变化过程，是指对和以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了的情形. 分布图示 ★ 极限运算法则 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3-4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 复合函数的极限运算法则 ★ 例12 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 6 ★ 返回 内容要点 例题选讲 极限的四则运算 例1(E01) 求 . 解 注：设则有 例2 (E02) 求 . 解 注：设且则有 当时，则商的法则不能应用. 例3 (E03) 求 . 解 商的法则不能用.又 由无穷大与无穷小的关系，得 例4 (E04) 求 . 解 时，分子和分母的极限都是零先约去不为零的无穷小因子后再求极限. （消去零因子法） 例5 (E05) 计算 解 时，分子和分母的极限都是无穷大(型).先用去除分子分母，分出无穷小，再求极限. (无穷小因子分出法) 注：当和为非负整数时，有 无穷小因子分出法：以分母中自变量的最高次幂除分子和分母，以分出无穷小，然后再求极限的方法. 例6 计算 解 时，分子分母均趋于此类极限也不能直接用极限运算法则，可把分子分母同除以绝对值最大的项，再用极限运算法则. 例7 (E06) 求 解 本题考虑无穷多个无穷小之和.先变形再求极限 例8 计算 解 因分母的极限为0，故不能应用极限运算法则，而要先对函数做必要的变形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后约去分子分母中的公因子. 例9 计算 解 时，与的极限均不存在，但不能认为它们差的极限也不存在，要先用三角公式变形： 最后这一步用了“有界量与无穷小的乘积为无穷小”的结论. 例10 计算下列极限： 解 (1) 由于而是有界量，由“有界量与无穷小之积为无穷小”知 (2) 因为又从而即为有界量，所以 例11 已知求 解 先求因为 所以此外，易求得 例12 (E07) 求. 解一 令则当时， 故原式 解二 例13 已知求之值. 解 因 故 解得 课堂练习 1. 求极限: 2. 在某个过程中, 若有极限, 无极限, 那么是否有极限? 为什么?