7 线性空间与线性变换7 线性空间与线性变换7 线性空间与线性变换7 线性空间与线性变换.ppt

?A?R2?2, 定义T(A)=AT, 则T在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为: 定理7.4 设线性变换T在基?1, ?2,…,?n下的矩阵是A, 向量?在基?1,?2,…,?n下的坐标为x=(x1, x2,…, xn)T,则T(?)在这组基下的坐标是Ax. 证明 因为?=x1?1+x2?2+…+xn?n, 所以 =(?1, ?2,…, ?n)Ax T(?)=x1T(?1)+x2T(?2)+…+xnT(?n) =(T(?1), T(?2),…, T(?n))x 所以, T(?)在基?1,?2,…,?n下的坐标是Ax. 定理7.5 设T是线性空间V的线性变换, 如果T在两组基?1, ?2,…,?n和?1, ?2,…,?n下的矩阵分别为A和B, 且由基?1, ?2,…,?n到基?1, ? 2,…, ?n的过渡矩阵为C, 则B=C-1AC. 证明 由于 T(?1, ?2,…, ?n)=(?1, ?2,…, ?n)A (?1, ? 2,…, ?n)=(?1, ?2,…, ?n)C 于是 (?1, ? 2,…, ?n)B=T(?1, ? 2,…, ?n)=T[(?1, ?2,…, ?n)C] = [T(?1, ?2,…, ?n)]C=(?1, ?2,…, ?n)AC =(?1, ? 2,…, ?n)C-1AC 由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的, 故B=C-1AC. 例4 设线性空间R3的线性变换T在基?1, ?2, ?3下的矩阵为 解 由于(?1, ?2, ?3)=(?1, -3?1-2?2+2?3, ?1+2?2+2?3) 求T在基?1=?1, ?2=-3?1-2?2+2?3, ?3=?1+2?2+2?3下的矩阵. 所以，由基?1, ?2, ?3到基?1, ?2, ?3的过渡矩阵为： 所以, T在基?1, ?2, ?3下的矩阵为: B=C-1AC §4 欧几里得空间 欧几里得空间就是在实线性空间上定义了数量积. 一. 定义和例子 定义7.8 设V是实数域R上的一个线性空间, 在V上定义一个二元实函数[?, ?], 满足: ??, ?, ??V, k?R, 有 则称二元实函数[?, ?]是V上的内积, 此时的线性空间V称为Euclid(欧几里得)空间. (1) 对称性: [?, ?]=[?, ?] (2) 线性性: [?+?, ?]=[?, ?]+[?, ?] [k?, ?]=k[?, ?] (3) 正定性: [?, ?]?0, 且仅当?=0时, [?, ?]=0. 例如: 在Rn中, ??=(a1, a2,…,an)T, ?=(b1, b2,…,bn)T?Rn, 定义 : [?, ?]=a1b1+2a2b2+…+nanbn, 则Rn也成为Euclid空间,但它是与上面不同的Euclid空间. 在R[x]n中, ? f (x) , g(x) ?R[x]n, 定义内积为: 在Rn中, ??=(a1, a2,…,an)T, ?=(b1, b2,…,bn)T?Rn, 定义 : [?, ?]=a1b1+a2b2+…+anbn, 则Rn成为Euclid空间. 则R[x]n也成为Euclid空间. 利用内积的概念, 可以定义Euclid空间中向量的长度, 向量的夹角等概念. 向量的长度具体下列性质: 定义7.9 设V是Euclid空间, ??V, 非负实数[?, ?]1/2称为向量?的长度(或范数, 或模), 记为|?|(或?????). 还有下面的Cauchy-Schwarz不等式: (1) 非负性: |?|?0, 且仅当?=0时, |?|=0 ; (2) 齐次性: |k?|=|k||?|; (3) 三角不等式: |?+?|?|?|+|?|. |[?, ?]|?|?||?|.