选修导数在实际生活中的应用.pptVIP

如何解决最优化应用问题? 练习 （1）把长60cm的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时，矩形面积最大？ （2）求内接于半径为R的圆的矩形面积的最大值。 高考链接 请你设计一个帐篷，它的下部的形状是高为１m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为３m的正六棱锥，试问：当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ * * 1、最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值； 最值是相对函数定义域整体而言的. 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值. 知识回顾： (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． (1)求f(x)在区间[a,b]内极值； (极大值或极小值) 利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤: 注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)． 导数的应用-----求函数最值. (2) y=f(x)的最大值ymax= MAX{f(a), f(b), f(x1), f(x2) …… f(xn)} y=f(x)的最大值yMIN= MIN{f(a), f(b), f(x1), f(x2) …… f(xn)} (1)在区间(a,b)上求使f `(x)=0的解x1、x2、……xn 利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤: 新课引入: 导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题. 导数在实际生活中的应用 例：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值。 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 cm， 得箱子容积 令 ，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16000 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法二：设箱底边长为xcm，则箱高 cm， 优化（实际）问题 优化（实际）问题的答案 用函数表示的数学问题（注意标出自变量的范围） 用导数（或不等式）解决数学问题 在实际问题中，在定义域中，是函数导数f`(x)=0的解只有一个，如果能够判断函数在这点处有极大（小）值，那么不与端点处的函数值比较，也可以下结论：这就是该问题的最大（小）值 在实际问题中，当不用导数而是用基本不等式求最大（小）值是一定要注意： 当求几个因式积（或和）的最值时，常常要利用 （以上各式中当且仅当“a=b或a=b=c”时取得等号） 必须要确保： a)每个因式是正数 b)这几个因式的和是常数 c)不等号中的等号能取到 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 例：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底的半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得 ，则 令 解得， ，从而 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 解法二： O O1 O2 设OO1为x m 帐篷的体积为（单位：m3） V（x）= 解:设OO1为x m，则x1 由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m） 于是底面正六边形的面积为（单位：m2） 求导数 令V`（x）=0 解得 x=-2 (不合题意,舍去),x=2 当 1＜x＜2 时 V`（x）＞ 0 ，V（x）为增函数 当 2＜x＜4 时 V`（x）＜0 V（x） 为减函数 所以 当 x=2时V（x）最大 答：当OO1为2m时帐篷的体积最大