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量子力学辅导 典型例题解析 （1）微观粒子的状态由波函数 完全描述。 概率密度 粒子处在 体积元的概率 二、状态和波函数 波函数的性质： 1、波函数可以完全描述体系的物理状态，当粒子处于某一状态时，它的力学量一般有多个可能值，各以一定的几率出现，这些几率完全有波函数给出。 2、波函数满足归一化条件。 3、波函数有常数因子和相位的不确定性。 （2）态叠加原理 设 是体系可能的状态，则它们的线性叠加 也是体系可能实现的状态。 （2）态叠加原理 设 是体系可能的状态，则它们的线性叠加 也是体系可能实现的状态。当体系处于Ψ态时，出现Ψn的概率是...... 讨论： 1、测量力学量得到的是一系列可能值，但是这些可能值的相对概率是完全确定的。 2、叠加是波函数（概率幅）的叠加，而不是概率的叠加。 3、在量子力学中，波的干涉是指描述粒子运动状态的概率波本身的干涉，而不是粒子间的干涉。 （3）波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出 当势场 不显含时间时，其解是定态解 满足定态薛定谔方程 定态薛定谔方程即能量算符的本征方程 定态 能量算符的本征态（能量具有确定值） （4）波函数的归一化条件 描述同一态 波函数常数因子和相位因子不定性 （5）波函数一般应满足三个基本条件:单值 连续 有限 （6）连续方程 （7）动量几率分布 任意一个波函数都可以看做是各种不同动量的平面波的叠加 动量几率分布函数 典型例题 1、根据S-eq解题 量子力学描述方式的最大特点之一是微观体系的运动状态用波函数完全描述。波函数是几率振幅，寻求波函数是QM的最为重要的任务。求解波函数满足的S.eq是获得波函数的基本途径。求解时要充分认识边界条件（包括衔接条件）的重要性。 （1）证明：具有不同能量的两个束缚态，其波函数正交。 证明：令 分别对应能量 ， ；结论与势能的 具体形式无关，第一选择是从S.eq出发。 并对空间积分 原因是束缚态边界条件为 由于 ，则有 即 正交 （2）质量为 的粒子处于能量为 的本征态，波函数为 已知 ，求能量 和势能函数 。 解： 留作业 2、利用边界条件确定能级 量子力学另外一类常见问题是确定粒子的能量，一般方法是求解S-eq，然后利用边界条件和连接条件确定能量本征值。常见情况如下： （1）束缚态中，粒子局限于有限范围内运动，因此无 限远处波函数为零； （2）势能无限大处，有限能量的粒子不能逾越，波函 数为零； （3）势能有限跃变处，波函数及其导数均连续； （4）对于 势，波函数本身连续，其导数有跃变。 例题 粒子在势场 中运动（ ）。求至少存在一个束缚态的条件。 解：显然，在 处， ；在 区域，由S.eq知 利用边界条件 ，得 对于