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金融风险与金融数学 金融风险和金融数学 史树中 北京大学金融数学与金融工程研究中心 北京大学光华管理学院金融系 什么是风险和什么是金融风险？ 风险是可能发生的危险。 风险＝不确定性。 金融风险就是金融中可能发生的危险。 换句话说，就是可能发生的钱财损失。 金融风险＝金融中的不确定性。 金融风险包括市场风险，信用风险、流动性风险，营运风险等等。 什么是金融经济学和金融数学？ 金融经济学与其他经济学科的主要区别就在于市场环境的不确定性。 金融经济学主要研究不确定性市场环境下的金融商品的定价理论。 金融数学就是金融商品定价的数学理论。 因此，也可以说，金融经济学以至金融数学都是研究金融风险的理论。 研究不确定性的数学－概率论 直到现在为止，研究不确定性的最主要的数学学科是概率论 (其他还有：模糊数学、混沌理论、集值分析、微分包含等)。 概率论几乎可以说是起源于研究“金融风险”的。那是一种简单的“金融风险”问题：赌博。 概率论的早期历史 Blaise Pascal (1623-1662) Pascal － Fermat 问题 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者赢。有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无意再赌下去，那么该怎样分割赌注？ 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. 结论：应该用数学期望来定价。 概率论的早期历史 (续) Jacob Bernoulli (1654-1705) “圣彼德堡悖论”问题 有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三次赢得 4 元，……一般情形为前 n 次输，第 n+1 次赢得 元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！ “圣彼德堡悖论” 1738 年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。 期望效用函数 1944 年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。 用期望效用函数来刻划风险 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望”。 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y). 有风险与无风险之间的比较 机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之间的利益比较就是比较 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y) 之间的大小。如果它们相等，表示对风险中性 (不在乎)；一般取 ，表示对风险厌恶。取 表示对风险爱好。 Arrow-Pratt 风险厌恶度量 这就归结为函数 u 的凸性的比较。它的程度可用 -u’’/u’ 来度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。 期望效用函数的争论 期望效用函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是“ Allais 悖论” (1953)。 由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不很成功。 Knight 的《风险、不确定性与利润》(1921) Knight 不承认“风险=不确定性”，提出“风险”是有概率分布的随机性，而“不确定性”是不可能有概率分布的随机性。 Knight 的观点并未被普遍接受。但是这一观点成为研究方法上的区别。 Arrow-Debreu 的不确定状态 1954 年 Arrow 和Debreu 发表一般经济均衡的严格数学公理化证明。 他们在处理不确定性时采用Knight 的观点。光有状态，没有概率。 Arrow (1953) 《证券价值对于风险的最优配置的作用》 Arrow 的文章被认为是第一篇用数学模型论证证券如何分散金融风险的研究论文。 “华尔街的革命” ‘在华尔街发生的两次革命已经开创了在金融界需要研究型的数学家的专长。第一次革命是对股权基金管理的诀窍引进数量方法，它开始于 Harry Markowitz 在 1952 年发表的博士论文《证券组合选择》。第二次金融中的革命开始于 1973 年 Fisher Black 和 Myron Scholes (请教了Robert Merton)发表对期权定价问题的解答。Black-Scholes 公式给金融行业带来了现代