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闭区间上连续函数的性质PropertiesofContinuous
函数与极限 §9 闭区间上连续函数的性质(Properties of Continuous Functions on the closed interval) 一、最大值和最小值定理 (Maximum-Minimum Principle) 二、介值定理(Intermediate Value Theorem) 三、小结 * Def.1 例如, Tips: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . Th.1 闭区间上连续的函数在该区间上一定有 If then such that 最大值和最小值. 或在闭区间内有间断 (证明略) 点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 推论: Def.2 且 使 即: ( 证明略 ) 几何解释(Geometric interpretation) : 几何解释(Geometric interpretation) : M B C A m a b Proof 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值. Eg.1 Proof 由零点定理, Eg.2 Proof 由零点定理, 最值定理; 零点定理; 介值定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 思考题 1. 下述命题是否正确？ 解: 不正确. 例函数 2. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. 则面积函数 因 故由介值定理可知: * *
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