随机变量的联合概率分布.pptVIP

第三章 多元随机变量的分布 第一节、随机变量的联合概率分布 * 本章主要学习内容 一、随机变量的联合概率分布 二、随机变量的独立性 三、常见随机变量的联合分布 四、随机向量的函数的分布 一、离散型随机变量的联合分布 1、联合分布 设随机变量X和Y是离散型随机变量，其一切 可能值相应为{ xi }和 {yi}．随机变量X和Y的联合概率分布， 亦称做随机向量(X, Y)的概率分布，表示为： 其中 离散型随机变量X和Y的联合概率分布常用列联表表 示（表3.1）． 表3.1 离散型随机变量X和Y的联合概率分布 2、边缘概率分布 凡是可以由联合分布得到或决定的概率 分布，统称为联合分布的边缘概率分布．随机变量X的概 率分布和Y的概率分布，完全决定于X和Y的联合分布： 3、条件概率分布　由变量X和Y的联合分布可见，对于给 定的xk ，若P{X= xk}≠0，则 称做Y在X= xk条件下的条件分布，或Y关于{X= xk}的条件分 布．条件分布具有（无条件）概率分布的一切性质． 4、多元离散型联合分布 读者自己容易把二元情形推广到 多个离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分 布．n个随机变量的联合分布的边缘分布，包括任意m(1≤ m≤n)个变量的概率分布和联合概率分布． 例 3.3 假设随机变量X和Y的联合概率分布为 分别求X和Y的概率分布． 求Y关于X的条件概率分布． 解 易见X有0,1,2等3个可能值，而Y有1,2等两个可能值． (2) 求Y关于X的条件概率分布．Y关于X=0的条件概率分布： Y关于X=1的条件概率分布： Y关于X=2的条件概率分布： 二、连续型随机变量的联合密度 1、联合密度 对于二连续型变量X和Y，(X,Y)可视为平面 上的点．对于平面上的任意区域G，点(X,Y)属于G的概率 通过一非负二元函数f(x,y)的积分表示： 特别，若G={(x,y):axb,cyd}是一个矩形，则 函数f(x,y)称做(X,Y)的概率密度或X和Y的联合概率密 度，它具有如下性质： 2、边缘密度 凡是可以由联合密度得到的密度，统称为 联合密度的边缘概率密度．变量X和Y的联合密度f(x,y)完 全决定每个变量X和Y的概率密度f1 (x)和f2 (x): 是联合密度f(x,y)的两个边缘密度． 3、条件概率密度　设f(x,y)是X和Y的联合密度， f1 (x)和f2 (y) 分别为变量X和Y的概率密度，则对于任意x, f2 (x) 0，称 为Y关于X=x的条件密度．同样定义X关于Y=y的条件密度 f1|2 (x|y) ．显然 称做密度乘法公式． 例3.4 假设 是原点为圆心、半径 为r的圆（图3.1）；已知X和Y的联合密度为f(x,y)，在 圆G上为常数，在圆G外f(x,y)=0．试求， (1) 联合密度f(x,y)， (2) f(x,y)的边缘密度，即X和Y的密度f1 (x)和 f2(y)； (3) Y关于X=x的条件密度f2|1 (y|x) ． 圆 积 见 这时，称 为二元均匀密度，称 服从二元均匀分布． (2) X和Y的密度f1 (x)和 f2(y),当|x|r时，显然f1 (x) =0． 设|x|≤r，则X的密度 于是，得X的概率密度 同理可得Y的联合概率密度 (3) 对任意x, 只要f1 (x) 0，则Y关于X=x的条件密度为 注意，X和Y的分布不是均匀分布，它们之中一个关 于另一个的条件分布都是均匀分布． 4、多元联合密度 类似地可以引进多个连续型随机变量 的联合密度、边缘密度和条件密度．因为很容易由二元 密度f(x1,x2) 推广到多元密度f(x1,x2 ,…xn ) 故留给读者自己 完成．注意，n(n≥2)个随机变量的联合密度的边缘密度， 包括任意m(1≤m≤)个变量的概率密度或联合密度． 三、随机变量的联合分布函数 1、联合分布函数和边缘分布函数 (1) 称r元函数 为随机向量X=( X1 ,X2 ,…Xr )的分布函数,或随机变量 X1 ,X2 ,…Xr的联合分布函数． (2) 随机变量X1 ,X2 ,…Xr中，各变量的分布函数，以及其 中任意m个变量的联合分布函数F(X1 ,X2 ,…Xr)，统称为 联合分布函数的边缘分布函数. 2、联合分布函数的性质 以随机变量X和Y的联合分布 函数F(x,y)为例．基于一元分布函数的性质和二元分布 函数的定义，不难理解F(x,y)的如下性质． (1) 0≤F(x,y)≤1，且对于每一自变量单调不减． (2) 对于每一自变量，F(x,