一线性变换(4-5)一线性换(4-5)一线性变换(4-5)一线性变换(4-5).ppt

一、线性映射（变换）的定义及性质 则称T是从V到W的一个线性映射或线性算子。 例3 求导运算是多项式空间C n [x]上的线性变换。 三、线性变换的值域与核 设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为 实例 求导运算T在多项式空间C n [x]上的值空间R(T)与核空间N (T)分别为 （1） T的值域R(T)与核N (T)都是V的子空间； 证（3） 设T是n维线性空间V的一个线性变换， 例1、试确定在多项式空间Pn [x]上的求导运算T分别在下列两组基下的表示矩阵 矩阵的相似关系是一个等价关系，可以利用这一关系将n阶矩阵划分为若干等价类.进而得出 [1] n维线性空间V的同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的。 [2] n维线性空间V的一个线性变换与n阶矩阵的一个等价类一一对应。 矩阵的特征值 定义矩阵A的特征多项式为 例 计算A的特征值与特征向量。 计算过程 A的特征向量 计算过程 的特征向量 (1)????? 特征值相同。 (2)????? 行列式相等，迹相等 (3) 秩相等 (4) 特征多项式相等，即 例 设A与B相似,求参数a及b 解 依相似矩阵的性质 特征值性质 设矩阵A=(a ij )的特征多项式为 矩阵的谱 称m i 是特征值 的代数重复度。 A的特征子空间 称n i 为 的几何重复度。 定理 n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于代数重复度。 证明 设A是线性空间C n的线性变换T在某组基下的表示矩阵， m i ， n i是特征值 的代数重复度与几何重复度，对于特征子空间W,存在补空间V,使得 四、不变子空间 设T是n维线性空间V的一个线性变换，S是V的一个子空间，称S是V的一个关于T的不变子空间，如果 从以上的讨论可知：欲求线性变换T的特征值和特征向量，只要求出T的矩阵A的特征值和特征向量。 T的特征值就是A的特征值，而T的特征向量在线性空间V的基下的坐标与A的特征向量一致。 例：设线性变换T在线性空间V中的一组基 下的矩阵为 求T的特征值和特征向量 矩阵A的特征多项式为 T的特征值为 对于 解方程组(-I-A)X=0,得基础解系： x1=(1,0,-1)T,X2=(0,1,-1)T 解方程组(5I-A)X=0,得基础解系x3=(1,1, 1)T 对于 T的属于 的两个线性无关的特征向量为 T的属于 T的全体特征向量为 相似矩阵的性质 可得方程组： 设A是n阶矩阵，A的相异特征值的集合 称为矩阵A的谱. 设矩阵A的特征多项式为 设A是n阶矩阵,定义A的相应于特征值 的特征子空间为 定理 n阶矩阵A的任一特征值的几何重复度不大于 代数重复度。 则T在此基下的表示矩阵为 取W与V的一组基，不妨记做 因为A与B相似，故 所以， 的代数重复度不小于n i 定义 设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W的一个线性变换，如果T是1-1变换，则称T是从V到W的一个同构变换；并称线性空间V,W是同构的。 线性空间V,W是同构的意义在于它们有相同的代数性质 定理 设T是从V到W的一个同构变换，则 T将V的线性无关组变换为W的线性无关组; T将V的基变换为W的基; (1) (2) (3) (4) 例 R上的任意n维线性空间V与n维向量空间 是同构的；n维线性空间V的所有线性变换形成的 维线性空 间 与 阶矩阵形成的线性空间同构。 * * 第一章 第四节 线性映射与线性变换 主要内容： 一 线性变换 二 线性变换的运算 三 线性变换的值域与核 设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W的一个映射，如果对于 当 V=W时, T也称为V上的一个线性变换。 例1 恒等变换 例2 0-变换 线性变换举例： 例4 定义在闭区间[a,b]上的所有连续函数的集合C[a,b]是一个线性空间，则C[a,b]的积分运算是线性变换。 线性映射（变换） 有以下性质： （3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的线性无关向量组； （4）设 则 并且 可以验证，线性空间V的线性变换经加法与数乘运算后仍为线性变换，并且满足下列基本性质 设 都是线性空间V的线性变换，定义线性变换的加法， 设T是线性空间V的一个线性变换，k是数域F上的一个数，定义线性变换的数乘， （2） 结合律 二、线性变换的运算 （1） 交换律 （8） （3） 存在零变换o, （4） 存在负变换-T, （5） 第一分配律 （6） 第二分配律 （7） 结合律 令 表示n维线性空间V的