2006届上海高三年级八校联考（第二次）数学试卷.doc

2006届上海高三年级八校联考（第二次）数学试卷 填空题： 已知复数满足，则 。 方程的解是 。 抛物线的焦点坐标为 。 在极坐标系中，直线截圆所得的弦长为 。 某校要组建一个20人的志愿者服务队，全校18个班级每班至少有1人参加，则志愿者服务队中有3人来自同一个班级的概率为 。（结果用分数表示） 若的展开式的中间项为，则 。 对一切正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。 已知在区间上的反函数是其本身，则区间可以为 。（或等） 在中，已知，且，则面积的最大值为 。 10、已知函数的最大值为，其相邻两对称轴间的距离为，则 。 11、已知是定义在上的函数，，请给出能使命题：“若，则 ”成立的一个充分条件： 。 12、哥德巴赫(Goldbach.C.德 1690-1764)曾研究过“所有形如的分数之和”问题。为了便于表述，引入记号： ，写出你对此问题的研究结论： 。（用数学符号表示） 二、选择题： 13、集合，若时，，则运算可能是 （ D ） （A）加法 （B）除法 （C）减法 （D）乘法 14、如图，四棱锥中，是正方形，底面，分别是、的中点，则异面直线所成角的大小为 （ C ） （A） （B） （C） （D） 15、在直角坐标平面中，过定点的直线与圆交于A、B两点，若动点，满足，则点的轨迹方程为 （ B ） （A） （B） （C） （D） 16、已知元集合，设中所有含3个元素的子集的元集之和为，则 （ C ） （A）（B）（C）（D） 三、解答题： 17、如图，图（1）是一个正方体的表面展开图，是两条面对角线。 （1）请在图（2）的正方体中画出；并求此时所成角的大小； （2）求四面体的体积与正方体的体积之比。 （说明：求角与体积时若需画辅助图，请分别画在图（3）、（4）中。） 解: (1)在正方体中画出、 (如图2)，连、（如图3），则∥， ∴即为异面直线所成的角，易知为等边三角形，∴所成角的大小为。 （2）连四面体的各棱（如图4），设正方体的棱长为，则。 18、已知复数，,设集合，，若，求实数的取值范围。 解：，， ，∵，∴。 19、政府决定用“对社会贡献率”对企业进行评价，用表示某企业第年投入的治理污染费用，用表示该企业第年的产值。设（万元），且以后治理污染费用每年都比上一年增加（万元）；又设（万元），且企业的产值每年均比上一年增长，用表示企业第年“对社会贡献率”。 （1）求该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”； （2）试问：从第几年起该企业“对社会贡献率”不低于？ 解：（1）∵，∴，， 即该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”分别为和。 （2）∵，，∴， ∵，即为递增数列， 又，， ∴从第年起该企业“对社会贡献率”不低于。 20、以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的坐标系。若，点的坐标为，点的坐标为。 （1）若以为中心，为顶点的双曲线经过点， 求当取最小值时双曲线的方程； （2）过点能否作出直线，使与双曲线交于两点， 且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。 解：（1），， 即时，取最小值，此时，设双曲线的方程为， 则，∴取最小值时双曲线的方程为。 （2）若存在满足条件的直线：，设，， 即， 由， ∴，即不存在满足条件的直线。 21、已知函数（，为正整数），数列满足：。 （1）求数列的通项公式； （2）当与这两项中至少有一项为中的最小项时，求的值； （3）若数列满足对任意的正整数，都有成立，求数列中的最大项。 解：（1） ∴。 （2）∵，与这两项中至少有一项为中的最小项， ∴，即，∵为正整数，∴。 （3）由，得， 两式相减，得，又，∴ 。 当最大时， ，∵为正整数， ∴若为偶数，则取或，此时，， ∵，∴数列中的最大项为。 若为奇数，，则取，此时，， ∵，∴数列中的最大项为 。 22、、分别表示实数中的最小者和最大者。 （1）作