2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷.doc

2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷 一. 填空题（本大题满分48分） 1. 计算： . txjy 2. 方程的解 . 3. 函数的反函数 . 4. 不等式的解集是 . txjy 5. 已知圆和直线. 若圆与直线没有公共 点，则的取值范围是 . txjy 6. 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时， . txjy 7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . txjy 9. 在△中，已知，三角形面积为12，则 . 10. 若向量的夹角为，，则 . 11. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原 点，则三角形面积的最小值为 . 12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 满足，则 （结论用数学式子表示）. 二．选择题（本大题满分16分） 13. 抛物线的焦点坐标为 （） （）（）（）4. 若，则下列不等式成立的是 （A）. （B）. （C）. （D）. 15. 若，则“”是“方程表示双曲线”的 （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件. 16. 若集合，则A∩B等于( ) （A）. （B）. （C）. （D）. 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分) 在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 18. (本题满分12分) 已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程. 19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 已知函数. （1）若，求函数的值； （2）求函数的值域. 20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 设函数. （1）在区间上画出函数的图像； （2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明； （3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方. 22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分. 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）. （1）若，求； （2）试写出关于的关系式，并求的取值范围； （3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准 一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1. . 2. 2. 3. . 4. . 5. . 6. . 7. 48. 8. . 9. . 10. 2. 11. 4. 12. 和 二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 题 号 13 14 15 16 代 号 B C A B 三．（第17至22题） 17. [解法一]