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2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
一. 填空题(本大题满分48分)
1. 计算: . txjy
2. 方程的解 .
3. 函数的反函数 .
4. 不等式的解集是 . txjy
5. 已知圆和直线. 若圆与直线没有公共 点,则的取值范围是 . txjy
6. 已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时, . txjy
7. 电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首 尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示).
8. 正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为 . txjy
9. 在△中,已知,三角形面积为12,则 .
10. 若向量的夹角为,,则 .
11. 已知直线过点,且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原 点,则三角形面积的最小值为 .
12. 同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低; 反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列 满足,则 (结论用数学式子表示).
二.选择题(本大题满分16分)
13. 抛物线的焦点坐标为
() ()()()4. 若,则下列不等式成立的是
(A). (B). (C). (D).
15. 若,则“”是“方程表示双曲线”的
(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.
16. 若集合,则A∩B等于( )
(A). (B). (C). (D).
三.解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. (本题满分12分)
在长方体中,已知,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
18. (本题满分12分)
已知复数满足为虚数单位),,求一个以为根的实系数一元二次方程.
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
已知函数.
(1)若,求函数的值;
(2)求函数的值域.
20. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为. 观测点同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(2)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?
21. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
设函数.
(1)在区间上画出函数的图像;
(2)设集合. 试判断集合和之间的关系,并给出证明;
(3)当时,求证:在区间上,的图像位于函数图像的上方.
22. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分. 第3小题满分6分.
已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().
(1)若,求;
(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;
(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准
一.(第1至12题)每一题正确的给4分,否则一律得零分.
1. . 2. 2. 3. . 4. .
5. . 6. . 7. 48. 8. .
9. . 10. 2. 11. 4.
12. 和
二.(第13至16题)每一题正确的给4分,否则一律得零分.
题 号 13 14 15 16 代 号 B C A B 三.(第17至22题)
17. [解法一]
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