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Part 2.2 非线性数学模型的线性化 2.2.1 常见非线性模型 常见非线性情况 单摆(非线性) 液面系统(非线性) 2.2.2 线性化问题的提出 2.2.3 线性化方法 增量方程 多变量函数泰勒级数法 单变量函数泰勒级数法 单摆模型(线性化) 液面系统线性化 Part 2.3 拉氏变换及其反变换 Part 2.3.1 拉氏变换的定义 拉氏反变换的定义 在零初始条件( )下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 系统(或环节) 的输入量 系统(或环节) 的输出量 2.4.1 传递函数的定义 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数均为0 初始条件为零时 微分方程拉氏变换 系统的传递函数 !传递函数的直接计算法 系统传递函数的一般形式 N(s)=0 系统的特征方程，?特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。 ！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K ——系统处于静态时，输出与输入的比值。 当s=0时 系统的放大系数或增益 特征方程 2.2.1 2.2.2 2.2.3 常见非线性模型 线性化问题的提出 线性化方法 Example 液面系统 单摆 Example 液面系统 单摆 单变量 多变量 针对时间变量的常微分方程： 线性方程指满足叠加原理 叠加原理： 可加性 齐次性 不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 继电器非线性 是未知函数 的非线性函数， 所以是非线性模型。 是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。 有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的。 可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。 线性系统缺点： 线性系统优点： 线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。 以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。 增量 （微小偏差法） 假设： 在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。 非线性方程 ? 局部线性增量方程 增量方程的数学含义 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。 注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。 增量方程 静态方程 函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为： 略去含有高于一次的增量?x=x-x0的项，则： 注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。 注：y = f (x0)称为系统的静态方程 常数！ 线性常微分方程 时间响应 性能指标 传递函数 频率特性 频率响应 求解 观察 拉氏变换 拉氏反变换 估算 计算 令S＝jw 傅氏变换 ★求取性能指标的主要途径 估算 2.3.1 2.3.2 2.3.3 拉氏变换的定义 拉氏变换的计算 拉氏变换求解方程 拉氏变换 拉氏反变换 设函数f(t)满足： 1f(t)实函数； 2当t0时 ， f(t)=0； 3当t?0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： 式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。 其中L－1为拉氏反变换的符号。 高等函数?初等函数 指数函数 三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 单位加速度函数 幂函数 2.3.2.1 拉氏变换的计算 阶跃函数的拉氏变换 斜坡函数 单位速度函数的拉氏变换 洛必达法则 单位脉冲函数拉氏变换 抛物线函数 单位加速度函数拉氏变换 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 F(s) f(t) 变换对 2.3.2.3 拉氏变换的主要运算定理 线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理 F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s) L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) 条件： 分母多项式能分解成因式 多项式极点 多项式零点