有理系数多项式.ppt

* 主要内容 引入 本原多项式 第九节 有理系数多项式 整系数多项式的分解定理 整系数多项式的有理根的求法 举例 整系数多项式不可约的条件 二、本原多项式 1. 定义 设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 是一有理系数多项式. 选取适当的整数 c 乘 f (x) ， 总可以使 c f (x) 是一整系数多项式. 如果 c f (x) 的 各项系数有公因子，就可以提出来，得到 c f (x) = d g(x) ， 也就是 其中 g(x) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 ?1 的公因子. 例如 定义10 如果一个非零的整系数多项式 g (x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b0 的系数 bn , bn-1 , … , b0 没有异于 ?1 的公因子，也 就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项 式. 上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多 项式 f (x) 都可以表示成一个有理数 r 与一个本原多 项式 g (x) 的乘积，即 f (x) = r g(x) . 可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的. 亦即，如果 f (x) = r g(x) = r1 g1(x) , 其中 g(x) , g1(x) 都是本原多项式， r = ? r1 , g(x) = ? g1(x) . 因为 f (x) 与 g(x) 只差一个常数倍，所以 f (x) 的因式分解问题，可以归结为本原多项式 g(x) 的因 那么必有 式分解问题. 下面我们进一步指出，一个本原多项 式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘 乘积的问题是一致的. 积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的 作为准备，我们先证 2. 性质 定理 10 (高斯(Gauss)引理) 两个本原多 项式的乘积还是本原多项式. 证明 设 g (x) = bmxm + bm-1xm-1 + … + b0 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 , 是两个本原多项式， h (x) = f (x) g (x) =dn+mxn+m + dn+m-1xn+m-1 + … + d0 是它们的乘积. 我们用反证法. 如果 h (x) 不是本 原的，也就是说 h (x) 的系数 dn+m , dn+m-1 , …, d0 有 而 一异于 ? 1 的公因子，那么就有一个素数 p 能整除 h (x) 的每一个系数. 因为 f (x) 是本原的，所以 p 不能同时整除 f (x) 的每一个系数. 令 ai 是第一个 不能被 p 整除的系数，即 p | a0 , … , p | ai-1 , p | ai . 同样地， g (x) 也是本原的，令 bj是第一个不能被 p 整除的系数，即 p | b0 , … , p | bj-1 , p | bj . 我们来看 h (x) 的系数 di+j , 由乘积的定义 di+j = aibj + ai+1bj-1 + ai+2bj-2 + ... + ai-1bj+1 + ai-2bj+2 + … . 由上面的假设，p 整除等式左端的 di+j ，p 整 除右端 aibj 以外的每一项，但是 p 不能整除 aibj . 这是不可能的. 这就证明了， h (x) 一定也是本原 多项式. 证毕 三、整系数多项式的分解定理 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分 解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积, 那么它 一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 证明 设整系数多项式 f (x) 有分解式 f (x) = g (x) h (x) ， 其中 g (x) , h (x) 是有理系数多项式，且 ? ( g (x) ) ?( f (x) ) ， ? ( h (x) ) ?( f (x) ) . 令 f (x) = a f1(x) ， g (x) = r g1(x) ， h (x) = s h1(x) ， 这里 f1(x) ，g1(x) ， h1(x) 都是本原多项式， a 是整 数，r , s 是有理数. 于是 a f1(x) = rs g1(x) h1(x) . 由 g1(x) h1(x) 是本原多项式，从而 rs = ? a . 这就是说， rs 是一整数 . 因此，我们有 f(x) = (rs g1(x)) h1(x) . 这里 rs g1(x) 与 h1(x) 都是整系数多项式，且次数都 低于 f(x) 的次数. 证毕 由定理的证明容易得出 推论 设 f (x) ，g (x) 是整系数多项式，且 g (x) 是本原的. 如果 f (x) = g (x) h (x) ，其中 h (x)