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*集美大学理学院 §1.5 事件的独立性 例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品. 记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则 由乘法公式即得 P(AB)=P(A)P(B) 从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响. 定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。 性质1 A.B为两个事件, 若P(A)0,则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)0,则A与B独立等价于P(A|B)=P(A). 证明：A.B独立=P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) =P(B|A)=P(B) 注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响. 一、两个事件的独立性 证明 不妨设A.B独立,则 其他类似可证. 性质2 在 A 与 B, 与 B,A 与 ， 与 这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。 注意 判断事件的独立性一般有两种方法: ① 由定义判断,是否满足公式; ② 由问题的性质从直观上去判断. 定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事件A1,A2,…,An,若对任何正整数m(2≤m≤n)以及 则称这n个事件相互独立. 若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立. 注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响. 二、有限个事件的独立性 性质 若n个事件相互独立，则 ①它们积事件的概率等于每个事件概率的积； ②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件后，所得的n个事件也是相互独立的； ③它们并的概率可用DeMorgan律转化为对立事件的独立性来解决。 例1. 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 , A表示电路断电, 则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3, P(A)=P(A1+A2+A3)= =1-0.168=0.832 例2 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率 解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100 则 若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝 炎病毒，则 —— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生 课堂练习 2. 甲,乙两人独立地对同一目标射击一 次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是甲击中的概率为( ) 2. 设A=甲击中,B=乙击中,C=目标被击中,所求 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)-P(A)P(B)] =0.6/0.8=3/4 解 1. 1. P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( |A)=0.4,则P(B)=( ). 所以,P(AB)=0.36, 又由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得 P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.6 三、Bernoulli概型 1、 Bernoulli实验： 若一个实验有且只有两个可能结果：成功、失败； 记两个结果为A与ā，且P(A)=p， P(ā)=1-p。 例： (1)抛一枚硬币； (2)掷一颗骰子。 2、n重Bernoulli实验： 将Bernoulli实验独立重复地进行n次，则称这一窜重复的独立实验为Bernoulli实验。 注： (1)重复：指保持实验条件不变， 即每次基本试验中每个结果出现的概率不变; (2) 独立：各试验之间相互独立; 例3. 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求：击中目标i次的概率.i=0,1,2,3,4,5 解 击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设Bi(i=0,1,…,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,...,5), 则Ai (i=1,2,...,5)相互独立, P