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(1)f(x)在区间[a, b]上连续; (2)f(x)在区间[a, b]上有界，有有限个间断点. (1) 区间[a, b]换为无穷区间？ (2)f(x)在区间[a, b]上无界？ §5-4 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限的反常积分 的计算： 例2. 计算反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地，可定义 注：对于 只有当 均收敛时，方称原积分收敛；否则，为发散。 类似地，可计算 例3. 计算反常积分 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 例4. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地，可定义： 说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分. ，其瑕点只有x=0. 问题：以下积分为定积分还是广义积分？ 又例: 的计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若瑕点 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 例1. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 讨论反常积分 的收敛性 . 例3. 当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 . 例如 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业: 第256页: 1.(3)(6)(9)(10);2 * 例如, L. P178 例13 * 例如, L. P178 例13