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-比较判别法
* 二. 正项级数敛散性判别法 3. 比较判别法 设 与 都是正项级数,且 (1) 若 收敛,则 收敛 (2) 若 发散,则 发散 证: (1) 设 与 的部分和分别为 由 若 收敛,则 有上界,从而 也有上界 于是,由正项级数收敛准则可知: 收敛 注意:1)两个正项级数一般项的不等式,可放宽为: 2)如果你要判别 收敛,则一定要找一个收敛的 级数 且 ,方能判别; 如果你要判别 发散,则一定要找一个发散的 级数 且 ,方能判别. 3)由于几何级数与P-级数敛散性已知,故常找这两类级数 来进行比较. 大收则小收! 小发大亦发! 解:因为 ,且 收敛 由比较判别法可知: 收敛 因为 n 2 时, ,且 发散 由比较判别法可知: 发散 例1. 判别下列级数的敛散性 例2. 的错误在于:对比较判别法的比较原理未理解. 例2. 判别 的敛散性 解:因为 且 发散 由比较判别法可知: 发散 对否?何也? 大收则小收! 小发大亦发! 另外,不等式的放大或缩小也是一个难点,为此我们介绍比较判别法的极限形式: 定理:设 与 都是正项级数,且 (1) 若 ,则 与 有相同的敛散性; (2) 若 A=0, 且 收敛,则 也收敛; ,且 发散,则 也发散。 (3) 若 都是无穷小量,上述三种情形分别为 (1) 同阶无穷小;(2) 是 的高阶无穷小; (3) 是 的低阶无穷小. 比较判别法的极限形式: 注意: 已知敛散性的级数比较时放在分母上 比较判别法的一般步骤: 1.首先根据级数的通项 的形式,猜测级数的敛散性; 2. 根据猜测找敛散性已知的级数 ,通常 3. 由比较判别法得出结论 例3. 判别下列级数的敛散性: 请同学们先猜敛散性,再找级数,最后下结论 解:因为 ,又 是 q =1/2 的几何级数 故级数 与 同时收敛. 证明:因为 又 发散,由比较判别法知 发散 三. 正项级数的敛散性判别步骤: 发散 发散 用比值判别法、根值判别法、比较判别法判断 例4. 若 则正项级数 发散
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