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* 二. 正项级数敛散性判别法 3. 比较判别法 设 与 都是正项级数，且 (1) 若 收敛，则 收敛 (2) 若 发散，则 发散 证: (1) 设 与 的部分和分别为 由 若 收敛，则 有上界，从而 也有上界 于是，由正项级数收敛准则可知： 收敛 注意：1）两个正项级数一般项的不等式，可放宽为： 2）如果你要判别 收敛，则一定要找一个收敛的 级数 且 ，方能判别； 如果你要判别 发散，则一定要找一个发散的 级数 且 ，方能判别. 3）由于几何级数与P-级数敛散性已知，故常找这两类级数 来进行比较. 大收则小收！ 小发大亦发！ 解：因为 ，且 收敛 由比较判别法可知： 收敛 因为 n 2 时， ，且 发散 由比较判别法可知： 发散 例1. 判别下列级数的敛散性 例2. 的错误在于：对比较判别法的比较原理未理解. 例2. 判别 的敛散性 解：因为 且 发散 由比较判别法可知： 发散 对否？何也？ 大收则小收！ 小发大亦发！ 另外，不等式的放大或缩小也是一个难点，为此我们介绍比较判别法的极限形式： 定理：设 与 都是正项级数，且 (1) 若 ，则 与 有相同的敛散性； (2) 若 A=0, 且 收敛，则 也收敛； ，且 发散，则 也发散。 (3) 若 都是无穷小量，上述三种情形分别为 (1) 同阶无穷小；(2) 是 的高阶无穷小； (3) 是 的低阶无穷小. 比较判别法的极限形式： 注意: 已知敛散性的级数比较时放在分母上 比较判别法的一般步骤： 1.首先根据级数的通项 的形式,猜测级数的敛散性； 2. 根据猜测找敛散性已知的级数 ，通常 3. 由比较判别法得出结论 例3. 判别下列级数的敛散性： 请同学们先猜敛散性，再找级数，最后下结论 解：因为 ，又 是 q =1/2 的几何级数 故级数 与 同时收敛. 证明：因为 又 发散，由比较判别法知 发散 三. 正项级数的敛散性判别步骤： 发散 发散 用比值判别法、根值判别法、比较判别法判断 例4. 若 则正项级数 发散