运筹学 02 线性规划运筹 02 线性规划运筹学 02 线性规划运筹学 02 线性规划.ppt

线性规划Linear Programming 线性规划及其数学模型LP and Its Mathematical Model 线性规划的图解法Graphic Method of LP 线性规划解的概念与性质Concepts and Properties of LP Solution 线性规划的单纯形法Simplex Method of LP 线性规划的软件包解法Package Method of LP 线性规划的应用举例Applications of LP 1 线性规划及其数学模型 线性规划问题的提出 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划模型的共同特征 线性规划模型的一般形式 线性规划模型的标准形式 问题的提出 例1：生产计划问题。工厂要安排生产两种产品：产品Ⅰ和产品Ⅱ，各需要设备、原材料A和原材料B，有关数据见表。问：如何安排生产使利润最大？ 基本概念 决策变量(Decision variables) 目标函数(Objective function) 约束条件(Constraint conditions) 可行域(Feasible region) 最优解(Optimal solution) 数学模型 第1步 - 确定决策变量 第2步 - 定义目标函数 第3步 - 表示约束条件 第4步 - 形成数学模型 第1步 - 确定决策变量 设 x1——产品Ⅰ的产量 x2——产品Ⅱ的产量 第2步 - 定义目标函数 Max z = 2 x1 + 3 x2 第3步 - 表示约束条件 x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1,x2 ≥ 0 第4步 - 形成数学模型 目标函数 Max Z = 2 x1 + 3 x2 约束条件 x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0 线性规划模型的共同特征 一组决策变量X表示一个方案，一般X大于等于零。 约束条件是关于X的线性等式或不等式。 目标函数是线性的，求目标函数最大化或最小化 线性规划模型的一般形式 线性规划模型的标准形式 简写 用向量表示 用矩阵表示 线性规划问题的标准化 目标函数求最大值 min Z=CX 等价于 max Z’=-CX 约束条件右边常量为非负 负数常量两边乘以-1，如x1≤-5等价于-x1≥5 约束条件为等式 “≤” 约束：加上非负松驰变量 “≥”约束：减去非负松弛变量 决策变量为非负 x≤0：令x’=-x，则x’≥0 x变量为无符号要求：令x’-x’’=x，其中x’,x’’≥0 线性规划问题的标准化-例1 线性规划问题的标准化-例2 课堂练习：建立LP数学模型 例2：有两个煤厂A、B，每月产量分别为60吨、100吨；三个居民区X、Y、Z从这些煤厂获得一定量煤，每月需要量分别为45吨、75吨、40吨；单位运价见表。求运费最少的运输方案。 2 线性规划的图解法 图解法 图解法求解步骤 线性规划问题求解的几种可能结果 由图解法得到的启示 图解法 图解法求解步骤 由全部约束条件作图求出可行域； 作目标函数等值线，确定使目标函数最优的移动方向； 平移目标函数的等值线，找出最优点，算出最优值。 线性规划问题求解的几种可能结果 (a) 唯一最优解 图解法的几点结论(由图解法得到的启示) 在二维空间中图解法只能解决两个变量的线性规划问题 可行域是有界或无界的凸多边形 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在可行域的顶点得到 若两个顶点同时为最优解，则其连线上的所有点都是最优解 解题思路：找出凸集的顶点，计算其目标函数值，比较即得 课堂练习：用图解法求解LP问题 Max z = 34 x1 + 40 x2 4 x1 + 6 x2≤48 2 x1 + 2 x2≤18 2 x1 + x2≤16 x1,x2≥0 3 线性规划解的性质 线性规划解的概念 线性规划解的关系图 线性规划问题的几何意义 基本定理 几点结论 求解LP的基本思路 线性规划问题解的概念 标准型：max Z=CX,AX=b,X≥0 可行解：满足约束条件AX=b,X≥0的解X称为线性规划问题的可行解；全部可行解的集合称为可行域 最优解：使Z=CX达到最大值的可行解称为最优解；对应的目标函数值称为最优值 基、基向量、基变量、非基变量：若B是系数矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵(B≠0)，则B是线性规划问题的一个基。不妨设B=(P1 P2 … Pm)，则Pj为基向量；Xj(j=1,