第一节 复数与复变函数.ppt

第二章 拉普拉斯变换的数学方法 机械工程控制基础 第一节 复数与复变函数 一、复数的发展史 　　在19世纪可没那么简单．第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数. 二、复数有关概念 　③复数s=a+j b (a∈R， b∈R )把实数a，b叫做 复数的实部和虚部。 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 1.定义: ②全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。 注意:①复数通常用字母s表示，即复数a+ib（a∈R，b∈R)可记作:s =a+jb （a∈R，b∈R），把这一表示形式叫做复数的代数形式。 实部 复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即 虚部 其中 称为虚数单位。 复数集C和实数集R之间有什么关系？ 讨论？ 复数a+jb 复数a+jb 2.复数的分类： 复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？ 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 (3)复平面：建立直角坐标系来表示 的平面叫做复平面，横轴为 ，竖轴除去原点为 ． 复数 实轴 虚轴 三、 复数的表示方法 1、复数的点表示法 任意一个复数s=a+jb与a和b成一一对应的关系，所以在平面直 角坐标系中，以a 表示横轴，jb表示纵轴，则复数s=a+jb可用 直角坐标平面上的一个点来表示。这样一个点就和一个复数对 应起来了。 y z(x,y) x x 0 y r 实轴 虚轴 图2－1 复数的点表示法 2、向量表示法 我们知道复数a+jb对应着复平面上的点(a, b)，也对应复平面上一个向量（如图2－2所示） 这个向量的长度叫做复数a+jb的模，记为|a+jb|，一般情况下，复数的模用字母r表示。 x y 同时，这个向量针对x轴的正方向有一个方向角，我们称为幅角，记为arg(a+bi)，幅角一般情形下用希腊字母θ表示。 显然 图2－2 极坐标表示法 （2－1） 3、复数的三角形式 这样，我们把 叫做复数a+bi的三角形式 1)、复数三角形式的运算法则 引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。 所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。 把它们代入复数的代数形式得： （2－2） 这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加 即 这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 将向量z1的模扩大为原来的r2倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角θ2，就得到z1z2。 (1)、复数的乘法 设 （2－3） (2)、复数的除法 即 这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减 这个运算在几何上可以用下面的方法进行： 将向量z1的模缩小为原来的r2分之一，然后再将它绕原点顺时针旋转角θ2，就得到z1÷z2。 (3)、复数的乘方。 利用复数的乘法不难得到 这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。 （2－4） （2－5） (4)、复数的开方 对于复数 ，根据代数基本定理及其推论知，任何一个复数在复数范围内都有n个不同的n次方根。 设 的一个n次方根为 将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角nθ，就得到zn。 这个运算在几何上可以用下面的方法进行：