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第一章 基本概念 1.1 集合 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 1．2 映射 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等及像 1.2.3 映射的合成 1.2.4 单射、满射、双射 1.3 数学归纳法 1.3.1 最小数原理 1.3.2数学归纳法的依据 1.4 整数的一些整除性质 1.4.1 整除与带余除法 1.4.2 最大公因数 1.4.3 互素 1.4.4 素数的简单性质 1.5 数环和数域 因为 ，所以 ，且 ，所以 . 有 所以f 是满射. 设 而 . 那么 由此 ，所以f 是单射. 于是由定理1.2.1，f 有逆映射. 易验证， 一般地，设A是一个非空的集合，把A×A到A的一个映射叫做集合A的一个代数运算. 内容分布 1.3.1最小数原理 1.3.2数学归纳法的依据 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。 数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理. 最小数原理 正整数集 的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数 ，对任意 都有 . 其中 表示全体正整数 的集合. 1． 最小数原理并不是对于任意数集都成立的 2． 设c是任意一个整数，令 注意 那么经代替正整数集 ，最小数原理对于 仍然成立. 也就是说， 的任意 一个非空子集必含有一个最小数，特别，N的任意一个非空了集必含有一个最小数. 这个原理的一般形式就是数学分析中的下（上）确界原理。 定理1.3.1（数学归纳法原理） 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ①当n=1时. 命题成立； ②假设当n=k 时命题成立，当n= k+1 时命题也成  立；那么这个命题对于一切正整数n都成立. 证 设命题对于一切正整数都成立. 令S表示使命题不成立的正整数所成的集合. 那么 . 于是，由最小数原理，S中有最小数h .因为命题对于n=1成立，所以 从而h-1是一下正整数. 因为h是S中最小的数，所以 . 这就是说当n=h-1时，命题成立. 于是由②，当n=h时命题也成立. 因此 . 这就导致矛盾. 例1 证明，当 时，n 边形的内角和等于(n-2)π. 证 当n=3 时，命题成立. 因为三角形的内角和等于π= (3-2)π. 假设时命题成立. 任意一个k+1多边形 ，联结 ，那么 的内角和就等于三角形 的内角和加上k边形 的内角和. 前者等于π，后者由归纳法假定，等于(k-2)π. 因此k+1多边形  的内角和等于π+(k-2)π=(k-1)π=((k+1)-2)π. 命题得证. 定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n有关的命题. 如果 ① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立. 数学归纳法可以推广到良序集合上，即所谓超限归纳原理。 一、内容分布 1.4.1 整除与带余除法 1.4.2 最大公因数 1.4.3 互素 1.4.4 素数的简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。 设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号a | b表示a整除b。这时a叫做b 的一个因数，而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b，那么就记作 . 整除的基本性质： ① ② ③ ④ ⑤ 每一个整数都可以1和 - 1整除。 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 - a整除 ⑥ ⑦ 定理1.4.1（带余除法） 设a，b 是整数且 ，那么存在一对整