数列通项公式的完整求法_还有例题详解.doc

观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4） 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为： （2） （3） （4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系。 二、公式法：当已知条件中有a和s的递推关系时，往往利用公式： a＝来求数列的通项公式。 例1： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d， ∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2， ∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1 例2. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ） (A) (B) (C) (D) 解析：设等差数列的公差位d，由已知， 解得，又是递减数列， ∴ ，，∴ ，故选(D)。 例3. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。 解析：由题意，，又是等比数列，公比为 ∴，故数列是等比数列，，∴ 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 例 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？ 【解析】： ， ， ，又， . 反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列. 三.累加法：求形如=＋f(n)的递推数列的通项公式的基本方法。（其中f(n)能求前n 项和即可）利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）. ∵ …… 各式相加得∴ 点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。 例3. 若在数列中，，，求通项。 解析：由得，所以，，…，， 将以上各式相加得：，又所以 = 例 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式. 【解析】：,,=1+++ =. 反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为. 跟踪训练3.已知,,求数列通项公式. 利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积). ｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。 解：由(n+1)·=n·得，=··…= 所以 例3 已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式。 解析：首先由易求的递推公式： 将上面n—1个等式相乘得： 点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。 例四 已知,,求数列通项公式. 【解析】：,,又有= 1×=,当时，满足，. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为. 跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是. 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn 解：设 例11. 已知数列中，，， 其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。 解析：递推公式一定可表示为 的形式。由待定系数法知： 故数列是首项为，公比为的等比数列，故 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。 七、辅助数列法 例12：已知数的递推关系为，且求通项。 解：∵ ∴令则辅助数列是公比为2的等比数列 ∴即 ∴ 例13：在数列中，，，，求。 解析：在两边减去，得 ∴ 是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得 = =…=== 例14： 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。 解：∵∴ ， 设，则 故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列 ∴ ∴ 点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。 五 构造新数列: 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ，类型2