数列的概念与项公式的求法.ppt

【例3】 【1】 两式相减得 【2】 A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 C 【4】 【5】已知数列{an}满足a1=2, 则a1·a2·a3·····a2009的值为______. 2 【7】 D 【8】 D B C 题号 答案 1 2 3 4 5 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网 例7. 已知数列{an}中，a1=1, an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式. 例6： 取倒法构造辅助数列 类型六、形如 的递推式 例9.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn； 又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4 的等比数列 (1)证明：由题设an+1＝4an－3n＋1，设bn=an-n 得bn+1=an+1－(n＋1)＝4(an－n)=4bn，n∈N*. 按题中要求构造数列 类型九： 例9.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn； 按题中要求构造数列 类型九： 按题目要求构造数列 ∴{bn}是以 3 为首项 2 为公比的等比数列.　 ∴bn=3?2n-1 .　 ∴an=2n?cn=(3n-1)?2n-2. (3)解: 由已知 c1= = , 1 2 a1 2 ∴由(2)得 cn= + (n-1)= (3n-1). 1 2 3 4 1 4 例9.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn； ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn). 证: (1)∵an+1=Sn+1-Sn, 又 an+1= Sn, n+2 n 整理得 nSn+1=2(n+1)Sn. n+2 n ∴Sn+1-Sn= Sn, Sn n Sn+1 n+1 ∴ =2? . 例4. 数列 {an} 前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= Sn(n=1, 2, 3,…), 证明: (1)数列 { } 是等比数列; (2) Sn+1=4an. n+2 n Sn n Sn n ∴{ } 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列. (2)由(1)知 =4? (n≥2), Sn+1 n+1 Sn-1 n-1 于是 Sn+1=4(n+1)? =4an(n≥2), Sn-1 n-1 又 a2=3S1=3a1=3, 故 S2=a1+a2=4=4a1. 因此对于任意正整数 n, 都有 Sn+1=4an. 已知数列的递推公式求通项公式 已知数列的递推公式求通项公式 已知数列的递推公式求通项公式 由an与Sn的关系求通项an 由an与Sn的关系求通项an 用函数的思想方法解决数列问题 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决． (2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数. 用函数的思想方法解决数列问题 1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法． 2．强调an与Sn的关系： 3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋