数学专业高等代数考研复习第3讲 矩阵.ppt

行列式 1、矩阵的运算：加法、乘法、数量乘法、转置 2、矩阵的秩： 矩阵乘积的行列式：设 A，B 是数域 P 上的两个 n ? n 矩 阵，那么 | AB | = | A | | B | ，即矩阵乘积的行列式等于它 的因子的行列式的乘积. a.熟记常见公式 b.有关分块矩阵 其中A k为n k级方阵，则 注意： 不一定成立，（其中A k k为方阵）。 2) 第一降秩定理 3) 第二降秩定理 Sylvester公式（江西大学）：A，B分别为s×n及n×m矩 阵，则 Frobenius公式（厦门大学考题， Sylvester公式的推广） 设A，B，C分别为s×n，n×m及m×t矩阵，则 3、矩阵的逆： 1） 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 非退化，且 2）、可逆矩阵的性质 (2) 设 A, B, Ai (i =1, 2, …, m) 为 n 级可逆方阵，k 为非零常数， 则 A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (3) (AB)-1 = B-1A-1, (A1A2…Am)-1 = Am-1…A2-1A1-1 ; （4） (AT)-1 = (A-1)T ; （5） （6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数. 4、初等矩阵 n 级初等矩阵. 1）初等矩阵的性质： 设 A 是一个 s ? n 矩阵, 对 A 施行一次 初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 s 级初等矩阵; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A的右边乘以相应的 2、两个矩阵的等价关系：矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以由 A 经过一系列初等变换得到，记为A ~ B 。 一、矩阵运算的基本题型 1、计算幂 1）、?用数学归纳法 例题归类讲解 例1　（中国科技大学）试求A n, 其中 例2　计算 2）用二项展开法 3）用对角法 例3　求A n, 其中 4）用哈密尔顿-凯莱定理 例4　（武汉大学）设 试证：对n大于或等于3，常有 由此求A100. 5）用带余除法 例5　（武汉大学）设 求A500. 2、已知幂An，求A 例6　（中国科技大学）设 试求出a , b , c的所有可能取值，使得A100=E. 二、矩阵的秩有关题型 1、计算矩阵A的秩 1）最大子式法 例7（北大）设A=(a i j )是n级实方阵，其中 证明：秩（A）= n-1. 2）利用已知公式 例8（吉林）设秩（A-E）= p, 秩（B -E）= q, 证明: 秩（AB-E）≤ p + q . 3）利用同解方程组 例9（华中师大）设A为 n×m实矩阵， 证明: 秩（A）=秩（AT）=秩（AAT）=秩（ATA）.若A是复矩 阵呢？ 4）利用初等变换 例10 设A为n级反对称阵， 证明: 1）A合同于B= diag (C,…,C,0 ), 其中 2）秩（A）= 偶数 3）∣A∣= t2 ( t 是数)。 5）利用标准型 例11 证明:n级方阵A是幂等阵当且仅当 r (A) + r (E-A)=n. 6）利用线性空间 例12（南京大学） 设A是n级复方阵，A2= A, 令 试证： 三、矩阵的逆有关题型 1、计算矩阵A的逆 例13 设A是数域P上2级方阵，证明： 1) A2 =kA , k为常数； 2）求矩阵E-A的逆。 2、证明逆的等式 例14（东北大学）设A=(a i j )是n级方阵，满足 证明：A可逆。 例15 设A=(a i j )是n级方阵，n≥3, 令 证明： 3、关于伴随矩阵 四、分块矩阵 1、计算行列式的值 例16 设A、B、C、D是n级可逆方阵，且 AC=CA， 证明： 2、讨论秩 例17 设A、B是n级可逆方阵， 证明：