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例 电压、温度、时间、质量、电荷等都是标量。 实际上， 所有实数都是标量。 1.3 矢量的标积和矢积 等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积 记为 ? ? 场的概念 令 u(x, y, z)=C, C为任意常数 圆柱坐标系 x=ρcosφ y=ρsinφ z=z 从直角到圆柱坐标系单位矢量的变换矩阵形式? 直角坐标系中的单位矢量变换到球坐标的表达式为 矢量运算的几个恒等关系 小 结 矢量的运算：标量积、矢量积 算符?既是矢量，又有微分运算功能。?作用于一矢量场A，如进行点积运算得到一标量场?·A，如果进行一矢积运算可得到一矢量??A。 ?作用于一标量场u可得到一矢量场?u。 矢量场A的散度divA反映矢量场的通量体密度，是一标量。divA= ?·A 矢量场A的旋度CurlA反映矢量场的环量面密度，是一矢量，其模等于最大环量面密度，最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。CurlA = ??A。 标量场u的梯度gradu是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向 gradu = ? u 散度定理和斯托克斯定理 无散场和无旋场 亥姆霍兹定理 矢量运算恒等关系 三种坐标系中矢量的坐标分量之间的转换关系 1-9 正交曲面坐标系 已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为 式中 a, b, c 均为常数，A 是常矢量吗？ 圆柱(r, ? , z) y z x P0 ? 0 ? = ? 0 r = r0 z = z 0 O x z y ? = ? 0 ? 0 ? 0 球(r, ?, ? ) r = r 0 ? = ? 0 P0 O 直角(x, y , z) z x y z = z 0 x = x 0 y = y 0 P0 O 直角坐标系 直角坐标系 单位矢量的标量积 单位矢量的矢量积 直角(x, y , z) z x y z = z 0 x = x 0 y = y 0 P0 O 在直角坐标系中，梯度、散度、旋度可表示为 圆柱坐标系 圆柱(r, ? , z) y z x P0 ? 0 ? = ? 0 r = r0 z = z 0 O 单位矢量的点积和叉积 矢量函数A在圆柱坐标系中的梯度、散度、旋度表达式分别为 圆柱坐标系单位矢量的变换 单位矢量 和 在单位矢量 和 上的投影 圆柱坐标与直角坐标的关系 将上式求逆即可得到从圆柱坐标系到直角坐标系的转换关系 微分体积元 dlρ=dρ, dlφ=ρdφ, dlz=dz 三个边长 微分长度元 三个坐标面的面元 微分体积元 球坐标系 球坐标系 x z y ? = ? 0 ? 0 ? 0 球(r, ?, ? ) r = r 0 ? = ? 0 P0 O 单位矢量的点积和叉积 矢量函数A在球坐标系中的梯度、散度、旋度表达式分别为 球坐标与直角坐标之间的关系 x=r sinθ cosφ y=r sinθ sinφ z=r cosθ 球坐标的三个单位矢量在ax、 ay和az 上的投影 将上式求逆即可得到球坐标中的单位矢量变换到直角坐标的表达式为 微分体积元 三个边长 微分长度元 三个坐标面的面元 微分体积元 dlr=dr, dlθ=rdθ, dlφ=r sinθdφ 从恒等关系可知， 旋度的散度等于零，而梯度的旋度等于零 * 第一章 数学基础（矢量分析） 主 要 内 容 标积、矢积、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 引言 矢量代数、矢量微积分：电磁场理论研究必不可少 矢量——为复杂现象提供紧凑的数学描述，并且便于直观想像和运算变换 你能列举多少标量、矢量？ 1-1 标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。 标量—— 一个仅用大小就能够完整描述的物理量 矢量—— 一个有大小和方向的物理量 力、位移、速度、力矩、电场强度、磁场强度等都是矢量。 矢量A在空间可用一有向线段表示 几何表示 A B A y x z Ax Bx Ay By Az Bz A ( Ax,Ay,Az ) B ( Bx,By,Bz ) A = B 1-2 矢量的代数运算 ● 矢量加法 也可用平行四边形法则得到 矢量加法、减法的平行四边形法则 矢量加法按平行四边形法则进行 ● 矢量减法 的始端（尾tail）和 的末端（尖tip）重合 两矢量相加 两矢量相减 B 两个矢量的加减运算：对应的坐标分量的相加和相减 直角坐标系