第七章 数值微积分.ppt

第七章 数值微积分 球面波在水平界面上的反射声场求解 球面波在平面界面上的反射和折射问题处理起来比较复 杂，可以采用波动声学的方法来进行处理。首先对点声源作 空间傅立叶变换，即把点声源辐射的球面波分解成按照不同 方向传播的平面波，表达式为平面波的双积分形式；然后应 用平面波在分界面上的反射理论，计算得到各平面波分量的 反射波；最后把所有反射波分量通过积分进行叠加，从而得 到球面波在平面界面上的反射声场。 通过坐标变换和化简，得到反射声场的表达式为 第七章 数值微积分 求函数 在区间 上的定积分 是微积分学中的基本问题之一，也是实际问题中经常遇到的 计算问题。 在微积分中，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种 有效工具。对于上面的定积分，如果 在区间 上连 续，并且 的原函数为 ，则可计算定积分 第七章 数值微积分 实际计算积分时可能存在的困难： (1) 本身形式复杂，求原函数更为困难，如 (2) 虽然形式简单，但是其原函数不能用初等函数表示成有限的形式，如 (3) 的原函数能用初等函数表示，但较为复杂，如 第七章 数值微积分 (4) 本身没有具体的解析表达式，仅有表格或图形给出的实验测量数据点。 以上几种情况下就无法应用牛顿-莱布尼兹公式，所以， 需要研究计算定积分的近似方法——数值积分法；在微分学 中，函数 的导数是通过极限定义的，如果函数以一组观 测数据的形式给出，或者表达式过于复杂时，就需要用数值 方法求解函数的导数或微分。 第七章 数值微积分 数值积分的基本思想 找到一个符合精度要求的简单函数 代替原来的函数 ，得到 由于简单函数 积分容易计算，所以积分值容易得到。 采用数值方法计算积分值，首先需要把积分区间细分， 在每一个小区间内用简单函数来代替原来的复杂函数进行积 分计算。本章学习利用代数插值多项式来代替被积函数 进行积分计算。 第七章 数值微积分 对于积分 其几何意义为由 所围成曲边梯形的面 积。计算曲边梯形面积比较困难，因为有一条曲边 第七章 数值微积分 如果用直线、抛物线等代替曲边梯形的曲边，则面积计 算变得容易。用容易计算面积的图形来代替曲边梯形，就可 以求出曲边梯形面积的近似值，从而得到积分的近似值。 按照这种思想，可以构造一些求积分值的近似公式，如 梯形公式： 中矩形公式： 第七章 数值微积分 当函数 已知时，讨论定积分的计算问题 为了避开求原函数的困难，通过被积函数 的值来求解积 分值。由积分中值定理，对连续函数 ，有 但是 的值一般是不知道的， 难以准确计算。称 为 在区间 的平均高度。寻找 的一种近似算法， 便可得到一种数值积分公式。 第七章 数值微积分 例如 左矩形公式： 右矩形公式： 中矩形公式： 第七章 数值微积分 对于一般情况，由定积分定义， 在 内n+1个节点 处高度为 ，通过加权 后再求和，从而得 到积分的近似值，这类公式一般形式为 其中 称为求积节点； 为求积系数（或节点 的权），它仅 与节点值及区间 有关，而与被积函数 的形式无关。 记 称 为积分公式的余项或是截断误差。 第七章 数值微积分 数值求积方法的特点是直接利用积分区间 上一些离 散节点处的被积函数值进行线性组合来近似计算定积分的值 ，从而将定积分的计算归结为函数值的计算，这就避开了牛 顿-莱布尼兹公式需要求解原函数的困难，并为计算机计算积 分提供了可行性。 数值求积公式的节点可以包含积分区间的端点，也可以 不包含。求积节点包含积分区间端点时称为闭型求积公式， 如梯形公式；求积节点不包含积分区间的端点时，称为开型 求积公式，如中矩形公式。 §1 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式 用拉格朗日插值多项式 作为 的近似函数，设 上的节点为 则有 其中 则计算定积