专题函数与导数综合题的解答教师版)专题函数与导数综合题的解答(教师版)专题函数与导数综合题的解答(教师版)专题函数与导数综合题的解答(教师版).doc

专题　函数与导数综合题的解答 1.本专题在高考中的地位 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出2．本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 热点一　 　用导数研究函数的性质 　 函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，并且具有普遍的适用性． (2012·高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 【审题】　(1)在交点(1，c)处有公共切线，隐含(1，c)为切点，可考虑f′(1)与g′(1)．f(1)与g(1)的关系． (2)构造函数h(x)＝f(x)＋g(x)，求h′(x)＞0，h′(x)＜0的x的范围，继而求(－∞，－1]上的最大值．【转化】　(1)中题意转化为. (2)中转化为求h′(x)＞0，h′(x)＜0的解由极值求最值．【解】　(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b， 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)． 即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b. 解得a＝3，b＝3. (2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当b＝a2时， h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1， h′(x)＝3x2＋2ax＋a2. 令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－. a＞0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下： x － － h′(x) ＋ 0 0 ＋ h(x)    所以函数h(x)的单调递增区间为和； 单调递减区间为. 当－≥－1，即0＜a≤2时， 函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a2. 当－＜－1，且－≥－1，即2＜a≤6时， 函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1. 当－＜－1，即a＞6时， 所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1. 函数h(x)在区间(－∞，－)上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为h－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2＞0， 【反思】　本题考查了导数的运算性质，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及最值的方法．利用列表法，研究h′(x)的正负及单调区间一目了然．求最值时，要考虑极值点，－，－与区间(－∞，－1]的关系，所以分类讨论来确定最值．热点二　 　导数、函数与不等式 　 用导数的方法研究与函数有关的不等式问题，是巧妙地构造函数，然后这个函数的单调性、极值、最值及特殊点的函数值，结合不等式的性质来解决．(2012·高考辽宁卷)设f(x)＝ln x＋－1，证明： (1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)； (2)当1＜x＜3时，f(x)＜. 【审题】　本题涉及f(x)的不等式，可以构造形如f(x)－φ(x)的函数来证明． 【转化】　(1)当x＞1，所证f(x)＜(x－1)转化为f(x)－(x－1)＜0证明． (2)当1＜x＜3，f(x)＜转化为f(x)－＜0，证明． 【证明】　(1)法一：记g(x)＝ln x＋－1－(x－1)，则当x＞1时， g′(x)＝＋－＜0. 又g(1)＝0，所以有g(x)＜0，即f(x)＜(x－1)． 法二：当x＞1时，2＜x＋1，故＜＋. 令k(x)＝ln x－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝－1＜0， 故k(x)＜0，即ln x＜x－1. 由得，当x＞1时，f(x)＜(x－1)． (2)法一：记h(x)＝f(x)－，由(1)得 h′(x)＝＋－ ＝－＜－＝. 令G(x)＝(x＋5)3－216x，则当1＜x＜3时，G′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因此G(x)在(1,3)内是减函数． 又由G(1)＝0，得G(x)＜0，所以h′(x)＜0. 因此h(x)在(1,3)内是减函数．又h(1)＝0，所以h(x)＜0. 于是当1＜x＜3时，f(x)＜. 法二：记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，则当1＜x＜3时，由(1)得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9 ＜