专题三 三角函数与平面向量综合应用专题三 三角函数与平面向量的综合应用专题三 三角函数与平面向量的综合应用专题三 三角函数与平面向量的综合应用.doc

专题三　三角函数与平面向量的综合应用 1． 三角恒等变换 (1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式． (2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系． (3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2． 三角函数的性质 (1)研究三角函数的性质，一般要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数． (2)在讨论y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t＝ωx＋φ，y＝Asin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3． 解三角形 解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4． 平面向量 平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性． 1． 已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________． 答案　－ 解析　＝＝tan α. 根据三角函数的定义得tan α＝＝－. 所以＝－. 2． 已知f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________. 答案　 解析　f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ) ＝2sin，由θ＋＝kπ＋ (k∈Z)及θ∈(0，π)，可得θ＝. 3.如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0，|φ|∈)图象的一部分，则f(x)的解析式为____________． 答案　f(x)＝2sin＋1 解析　由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1. 由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈，得φ＝. 由图象知ω(－π)＋φ＝2kπ－ (k∈Z)， 得ω＝－2k＋(k∈Z)．又2π， ∴0ω1.∴ω＝. ∴函数f(x)的解析式是f(x)＝2sin＋1. 4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝________. 答案　 解析　方法一　应用两角差的正弦公式求解． 由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°， 在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1， ∴CE＝，则sin∠CEB＝，cos∠CEB＝. 而∠CED＝45°－∠CEB， ∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB) ＝(cos∠CEB－sin∠CEB) ＝×＝. 方法二　利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解． 由题意得ED＝，EC＝＝. 在△EDC中，由余弦定理得 cos∠CED＝＝， 又0∠CEDπ， ∴sin∠CED＝ ＝＝. 5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P是BC上的一个动点，当·取得最小值时，tan∠DPA的值为________． 答案　 解析　如图，以A为原点，建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)，B(3，0)，C(3,2)，D(0,1)，设∠CPD＝α，∠BPA＝β， P(3，y) (0≤y≤2)． ∴＝(－3,1－y)，＝(－3，－y)， ∴·＝y2－y＋9＝2＋， ∴当y＝时，·取得最小值，此时P， 易知||＝||，α＝β. 在△ABP中，tan β＝＝6， tan∠DPA＝－tan(α＋β)＝＝. 题型一　三角恒等变换 例1　设α，sin＝，求的值． 思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系． 解　方法一　由α， 得α－，又sin＝， 所以cos＝. 所以cos α＝cos[(α－)＋] ＝coscos －sinsin ＝， 所以sin α＝. 故原式＝＝cos α(1＋2sin α)＝. 方法二　由sin＝，得sin α－cos α＝， 两边平方，得1－2sin αcos α＝， 即2sin αcos α＝0. 由于α，故α. 因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， 故sin α＋cos α＝， 解得sin α＝，cos α＝.下同方法一． 探究提高　三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响． 已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　cos＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝， 所以sin＝－sin＝－. 题型二　三角函数的图象与性质 例2　(201