自动控制原理02自动控制原02理02.ppt

应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。 微分方程式的解 正弦函数　 Bsin(?t+?) 指数函数　 Aeat 微分方程式的各系数 起始条件 外部条件 a、? A、B、? 第二讲 Part 2.1 典型的外作用 Part 2.2 拉普拉斯变换相关 问题 * 典型的外作用 为了便于用统一的方法研究和比较控制系统的性能，通常选用几种确定性函数作为典型外作用。 可选作典型外作用的函数应具备以下条件： 1) 这种函数在现场或实验室中容易得到； 2) 控制系统在这种函数作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能。 3) 这种函数的数学表达式简单，便于理论计算。 Part 2.1 常见的典型输入 * (1)、阶跃函数 函数表达式为： 在任意时刻t0出现的阶跃函数可表示为 * (2)、斜坡函数 斜坡函数的数学表达式为： 如雷达－高射炮防空系统，当雷达跟踪的目标以恒定速率飞行时，可视为该系统工作于斜坡函数作用之下。 * (3)、脉冲函数 脉冲函数定义为： 强度为A的脉冲函数可表示为 。在t0时刻出现的单位脉冲函数为 。 注意：脉冲函数仅用于分析研究，现实中并不存在。 * (4)、正弦函数 正弦函数的数学表达式为： 正弦函数是控制系统中常用的一种典型外作用，很多实际 的随动系统就是常工作在此外作用下。 更为重要的是系统在正弦函数作用下的响应，即频率 响应是自动控制理论中研究系统性能的重要依据。 Part 2.2 拉氏变换及其反变换 2.2.1 2.2.2 2.2.3 拉氏变换的定义 拉氏变换的计算 拉氏变换求解方程 拉氏变换 拉氏反变换 Part 2.2.1 拉氏变换的定义 设函数f(t)满足： 1f(t)实函数； 2当t0时 ， f(t)=0； 3当t?0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： 式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）； F(s)称为函数f(t)的拉普拉斯变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。 拉氏反变换的定义 其中L－1为拉氏反变换的符号。 高等函数?初等函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 单位加速度函数 指数函数 三角函数 幂函数 Part 2.2.2 拉氏变换的计算 指数函数的拉氏变换 洛必达法则 单位脉冲函数拉氏变换 阶跃函数的拉氏变换 斜坡函数 单位速度函数的拉氏变换 抛物线函数 单位加速度函数拉氏变换 幂函数的拉氏变换 （欧拉公式） 三角函数的拉氏变换 拉氏变换的主要运算定理 线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理 比例定理 线性定理 叠加定理 微分定理 原函数的高阶导数 ? 像函数中s的高次代数式 多重微分 积分定理 原函数的n重积分?像函数中除以sn 多重积分 原函数乘以指数函数e-at?像函数d在复数域中作位移a 位移定理 原函数平移 ? ? 像函数乘以 e-s? 延时定理 原函数f(t)的稳态性质 ? sF(s)在s=0邻域内的性质 终值定理 初值定理 F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s) L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) 条件： 分母多项式能分解成因式 拉氏反变换方法 部分分式法的求取拉氏反变换 拉氏反变换：它和拉氏正变换是一一对应的，可以通过查拉氏变换表得到。利用部分分式法化为表中的形式。具体做法如下。 Example：2求拉氏反变换 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 Part 2.2.3 拉氏变换求解线性微分方程